Bài tự luận · Bài 23
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 23
Cho miếng bìa hình vuông cạnh bằng $ 5\left ( { { \rm{ m } } } \right ) $. Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ $ 4 $ tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại thành hình chóp tứ giác đều (tham khảo hình vẽ bên dưới). Để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ x $ là độ dài cạnh của hình vuông $ ABCD $, điều kiện $ 0 < x < \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 } $.
Gọi $ O $ là tâm của hình vuông $ ABCD $thì $ SO\perp\left ( { ABCD } \right ) $.
Có $ SI=\frac { 5\sqrt { 2 }-x } { 2 } $, $ SO=\sqrt { SI ^ { 2 } -OI ^ { 2 } } $$ =\sqrt { \left ( { \frac { 5\sqrt { 2 }-x } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { \frac { x } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } $$ =\sqrt { \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }\left ( { \frac { 5\sqrt { 2 }-2x } { 2 } } \right ) } $.
Có $ V=\frac { 1 } { 3 }SO.S_{ ABCD } $$ =\frac { 1 } { 3 }x ^ { 2 } .\sqrt { \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }\left ( { \frac { 5\sqrt { 2 }-2x } { 2 } } \right ) } $$ =\frac { 1 } { 3 }.\sqrt { \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }x ^ { 4 } \left ( { \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }-x } \right ) } $.
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho $ 5 $số dương:
Có $ \frac { x } { 4 }+\frac { x } { 4 }+\frac { x } { 4 }+\frac { x } { 4 }+\left ( { \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }-\frac { x } { 4 }-\frac { x } { 4 }-\frac { x } { 4 }-\frac { x } { 4 } } \right ) $$ \geq 5.\sqrt[5] { \frac { x } { 4 }\frac { x } { 4 }\frac { x } { 4 }\frac { x } { 4 }\left ( { \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }-\frac { x } { 4 }-\frac { x } { 4 }-\frac { x } { 4 }-\frac { x } { 4 } } \right ) } $.
$ \Rightarrow \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }\geq \sqrt[5] { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ^ { 4 } }\left ( { \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }-x } \right ) } $$ \Rightarrow x ^ { 4 } \left ( { \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }-x } \right )\leq \frac { 4 ^ { 4 } \sqrt { 2 ^ { 5 } } } { 2 ^ { 5 } } $.
$ \Rightarrow \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }x ^ { 4 } \left ( { \frac { 5\sqrt { 2 } } { 2 }-x } \right )\leq \frac { 4 ^ { 4 } 5\sqrt { 2 ^ { 6 } } } { 2 ^ { 6 } }=2 ^ { 5 } .5 $$ \Rightarrow V\leq \frac { 4\sqrt { 10 } } { 3 } $.
Dấu bằng xảy ra khi $ x=2\sqrt { 2 }=2,83 $ $ \left ( { { \rm{ m } } } \right ) $.