Bài tập nâng cao · Bài 142
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 142
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ và $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x }=5 $. Tính $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có$ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x+\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x $,
Tính $ \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ x=\pi -t $
$ { \rm{ d } }x=-{ \rm{ d } }{ \rm{ t } } $
$ xf\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x=\left ( { \pi -t } \right )f\left[ sin\left ( { \pi -t } \right ) \right]\left ( { -{ \rm{ d } }{ \rm{ t } } } \right )=\left ( { t-\pi } \right )f\left ( { sint } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } $
Đổi cận $ x=\frac { \pi } { 2 }\Rightarrow t=\frac { \pi } { 2 } \\ x=\pi \Rightarrow t=0 $
$ \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ 0 } { \left ( { t-\pi } \right ) }f\left ( { sint } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } }=\pi \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sint } \right ) }{ \rm{ d } }{ \rm{ t } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { tf\left ( { sint } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=\pi \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x $ Do đó $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x+\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x=\pi \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x=5\pi } $
Tính $ \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ x=\pi -t $
$ { \rm{ d } }x=-{ \rm{ d } }{ \rm{ t } } $
$ xf\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x=\left ( { \pi -t } \right )f\left[ sin\left ( { \pi -t } \right ) \right]\left ( { -{ \rm{ d } }{ \rm{ t } } } \right )=\left ( { t-\pi } \right )f\left ( { sint } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } $
Đổi cận $ x=\frac { \pi } { 2 }\Rightarrow t=\frac { \pi } { 2 } \\ x=\pi \Rightarrow t=0 $
$ \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ 0 } { \left ( { t-\pi } \right ) }f\left ( { sint } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } }=\pi \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sint } \right ) }{ \rm{ d } }{ \rm{ t } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { tf\left ( { sint } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=\pi \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x $ Do đó $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x+\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { xf\left ( { sinx } \right ) }{ \rm{ d } }x=\pi \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x=5\pi } $