Bài tự luận · Bài 21
Dạng 3. Phương trình đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp: - $\sin f(x)=\sin g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$. - $\cos f(x)=\cos g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=-g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$.
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 21
(KNTT11) Giải các phương trình sau:
a) $ (2+\cos x)(3\cos2x-1)=0 $;
b) $ 2\sin2x-\sin4x=0 $;
c) $ \cos^{6}x-\sin^{6}x=0 $;
d) $ \tan2x\cot x=1 $.
a) $ (2+\cos x)(3\cos2x-1)=0 $;
b) $ 2\sin2x-\sin4x=0 $;
c) $ \cos^{6}x-\sin^{6}x=0 $;
d) $ \tan2x\cot x=1 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $ (2+\cos x)(3\cos2x-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2+\cos x=0 \\ 3\cos2x-1=0 \end{array} \right. $
- Phương trình $ 2+\cos x=0 $ vô nghiệm.
- Gọi $ \alpha $ là góc thoả mãn $ \cos\alpha=\frac{1}{3} $. Vậy
$ 3\cos2x-1=0\Leftrightarrow \cos2x=\cos\alpha\Leftrightarrow 2x=\pm\alpha+k2\pi\Leftrightarrow x=\pm\frac{\alpha}{2}+k\pi(k\in\mathbb{Z}) $.
b) Ta có $ 2\sin2x-\sin4x=0\Leftrightarrow 2\sin2x-2\sin2x\cos2x=0 $
$ \Leftrightarrow 2\sin2x(1-\cos2x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin2x=0 \\ \cos2x=1. \end{array} \right. $
Vì $ \cos2x=1 $ kéo theo $ \sin2x=0 $, nên phương trình tương đương với
$ \sin2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi\Leftrightarrow x=k\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}). $
c) Ta có $ \cos^{6}x-\sin^{6}x=0\Leftrightarrow \left( \cos^{2}x \right)^{3}=\left( \sin^{2}x \right)^{3}\Leftrightarrow \cos^{2}x=\sin^{2}x $
$ \Leftrightarrow \cos^{2}x-\sin^{2}x=0\Leftrightarrow \cos2x=0. $
Từ đó ta được $ 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi $ hay $ x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}) $.
d) Điều kiện $ \sin x\neq 0 $ và $ \cos2x\neq 0 $.
Ta có $ \tan2x\cot x=1\Leftrightarrow \tan2x=\tan x\Leftrightarrow 2x=x+k\pi\Leftrightarrow x=k\pi $.
Ta thấy $ x=k\pi $ không thoả mãn điều kiện $ \sin x\neq 0 $. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
- Phương trình $ 2+\cos x=0 $ vô nghiệm.
- Gọi $ \alpha $ là góc thoả mãn $ \cos\alpha=\frac{1}{3} $. Vậy
$ 3\cos2x-1=0\Leftrightarrow \cos2x=\cos\alpha\Leftrightarrow 2x=\pm\alpha+k2\pi\Leftrightarrow x=\pm\frac{\alpha}{2}+k\pi(k\in\mathbb{Z}) $.
b) Ta có $ 2\sin2x-\sin4x=0\Leftrightarrow 2\sin2x-2\sin2x\cos2x=0 $
$ \Leftrightarrow 2\sin2x(1-\cos2x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin2x=0 \\ \cos2x=1. \end{array} \right. $
Vì $ \cos2x=1 $ kéo theo $ \sin2x=0 $, nên phương trình tương đương với
$ \sin2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi\Leftrightarrow x=k\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}). $
c) Ta có $ \cos^{6}x-\sin^{6}x=0\Leftrightarrow \left( \cos^{2}x \right)^{3}=\left( \sin^{2}x \right)^{3}\Leftrightarrow \cos^{2}x=\sin^{2}x $
$ \Leftrightarrow \cos^{2}x-\sin^{2}x=0\Leftrightarrow \cos2x=0. $
Từ đó ta được $ 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi $ hay $ x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}) $.
d) Điều kiện $ \sin x\neq 0 $ và $ \cos2x\neq 0 $.
Ta có $ \tan2x\cot x=1\Leftrightarrow \tan2x=\tan x\Leftrightarrow 2x=x+k\pi\Leftrightarrow x=k\pi $.
Ta thấy $ x=k\pi $ không thoả mãn điều kiện $ \sin x\neq 0 $. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.