Bài tự luận · Bài 20
Dạng 3. Phương trình đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp: - $\sin f(x)=\sin g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$. - $\cos f(x)=\cos g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=-g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$.
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 20
(KNTT11) Giải các phương trình sau:
a) $ \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)+\cos\left( 2x-15^{\circ} \right)=0 $;
b) $ \cos\left( 2x+\frac{\pi}{5} \right)+\cos\left( 3x-\frac{\pi}{6} \right)=0 $
c) $ \tan x+\cot x=0 $;
d) $ \sin x+\tan x=0 $.
a) $ \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)+\cos\left( 2x-15^{\circ} \right)=0 $;
b) $ \cos\left( 2x+\frac{\pi}{5} \right)+\cos\left( 3x-\frac{\pi}{6} \right)=0 $
c) $ \tan x+\cot x=0 $;
d) $ \sin x+\tan x=0 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có
$ \begin{array}{l} \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)+\cos\left( 2x-15^{\circ} \right)=0 \\ \Leftrightarrow \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)=-\cos\left( 2x-15^{\circ} \right)\Leftrightarrow \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)=\sin\left[ -90^{\circ}+\left( 2x-15^{\circ} \right) \right]. \end{array} $
Vậy phương trình đã cho tương đương với $ \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)=\sin\left( 2x-105^{\circ} \right) $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x+15^{\circ}=2x-105^{\circ}+k360^{\circ} \\ 2x+15^{\circ}=180^{\circ}-(2x-105^{\circ})+k360^{\circ} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 120^{\circ}=k360^{\circ} \\ x=67,5^{\circ}+k90^{\circ} \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
Không xảy ra trường hợp $ 120^{\circ}=k360^{\circ} $.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=67,5^{\circ}+k90^{\circ}(k\in\mathbb{Z}) $.
b) Ta có $ \cos\left( 2x+\frac{\pi}{5} \right)+\cos\left( 3x-\frac{\pi}{6} \right)=0\Leftrightarrow \cos\left( 2x+\frac{\pi}{5} \right)=\cos\left[ \pi-\left( 3x-\frac{\pi}{6} \right) \right] $.
Vậy phương trình đã cho tương đương với
$ \cos\left( 2x+\frac{\pi}{5} \right)=\cos\left( \frac{7\pi}{6}-3x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x+\frac{\pi}{5}=\frac{7\pi}{6}-3x+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi}{5}=-(\frac{7\pi}{6}-3x)+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{29\pi}{150}+k\frac{2\pi}{5} \\ x=\frac{41\pi}{30}-k2\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
c) Ta có $ \tan x+\cot x=0\Leftrightarrow \tan x=\tan\left( x-\frac{\pi}{2} \right) $
$ \Leftrightarrow x=x-\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow -\frac{\pi}{2}+k\pi=0(k\in\mathbb{Z}) $. Vô lí.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Điều kiện $ \cos x\neq 0 $. Ta có $ \sin x+\tan x=0\Leftrightarrow \sin x\left( 1+\frac{1}{\cos x} \right)=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \\ \cos x=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi(k\in\mathbb{Z}). $
Vì $ x=k\pi $ thoả mãn điều kiện $ \cos x\neq 0 $ nên nghiệm của phương trình đã cho là $ x=k\pi(k\in\mathbb{Z}) $.
$ \begin{array}{l} \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)+\cos\left( 2x-15^{\circ} \right)=0 \\ \Leftrightarrow \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)=-\cos\left( 2x-15^{\circ} \right)\Leftrightarrow \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)=\sin\left[ -90^{\circ}+\left( 2x-15^{\circ} \right) \right]. \end{array} $
Vậy phương trình đã cho tương đương với $ \sin\left( 2x+15^{\circ} \right)=\sin\left( 2x-105^{\circ} \right) $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x+15^{\circ}=2x-105^{\circ}+k360^{\circ} \\ 2x+15^{\circ}=180^{\circ}-(2x-105^{\circ})+k360^{\circ} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 120^{\circ}=k360^{\circ} \\ x=67,5^{\circ}+k90^{\circ} \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
Không xảy ra trường hợp $ 120^{\circ}=k360^{\circ} $.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=67,5^{\circ}+k90^{\circ}(k\in\mathbb{Z}) $.
b) Ta có $ \cos\left( 2x+\frac{\pi}{5} \right)+\cos\left( 3x-\frac{\pi}{6} \right)=0\Leftrightarrow \cos\left( 2x+\frac{\pi}{5} \right)=\cos\left[ \pi-\left( 3x-\frac{\pi}{6} \right) \right] $.
Vậy phương trình đã cho tương đương với
$ \cos\left( 2x+\frac{\pi}{5} \right)=\cos\left( \frac{7\pi}{6}-3x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x+\frac{\pi}{5}=\frac{7\pi}{6}-3x+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi}{5}=-(\frac{7\pi}{6}-3x)+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{29\pi}{150}+k\frac{2\pi}{5} \\ x=\frac{41\pi}{30}-k2\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
c) Ta có $ \tan x+\cot x=0\Leftrightarrow \tan x=\tan\left( x-\frac{\pi}{2} \right) $
$ \Leftrightarrow x=x-\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow -\frac{\pi}{2}+k\pi=0(k\in\mathbb{Z}) $. Vô lí.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
d) Điều kiện $ \cos x\neq 0 $. Ta có $ \sin x+\tan x=0\Leftrightarrow \sin x\left( 1+\frac{1}{\cos x} \right)=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \\ \cos x=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi(k\in\mathbb{Z}). $
Vì $ x=k\pi $ thoả mãn điều kiện $ \cos x\neq 0 $ nên nghiệm của phương trình đã cho là $ x=k\pi(k\in\mathbb{Z}) $.