Bài tự luận · Bài 19
Dạng 3. Phương trình đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản Phương pháp: - $\sin f(x)=\sin g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=\pi -g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$. - $\cos f(x)=\cos g(x)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=g(x)+k2\pi \\ f(x)=-g(x)+k2\pi \\ \end{array} (k\in \mathbb{Z}) \right.$.
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 19
(KNTT11) Giải các phương trình sau:
a) $ \sin2x+2\cos x=0 $;
b) $ \sin^{3}x+\cos^{3}x=0 $;
c) $ \sin\left( x+30^{\circ} \right)\cos\left( 2x-150^{\circ} \right)=0 $
d) $ (3\tan x-\sqrt{3})(2\sin x-1)=0 $.
a) $ \sin2x+2\cos x=0 $;
b) $ \sin^{3}x+\cos^{3}x=0 $;
c) $ \sin\left( x+30^{\circ} \right)\cos\left( 2x-150^{\circ} \right)=0 $
d) $ (3\tan x-\sqrt{3})(2\sin x-1)=0 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $ \sin2x+2\cos x=0\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+2\cos x=0 $
$ \Leftrightarrow 2\cos x(\sin x+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=0 \\ \sin x=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
b) Ta có $ \sin^{3}x+\cos^{3}x=0\Leftrightarrow \sin^{3}x=(-\cos x)^{3}\Leftrightarrow \sin x=-\cos x $
$ \Leftrightarrow \sin x=\sin\left( -\frac{\pi}{2}+x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\left( -\frac{\pi}{2}+x \right)+k2\pi \\ x=\pi-\left( -\frac{\pi}{2}+x \right)+k2\pi \end{array} \right.\,\,(k\in\mathbb{Z}) $
Từ đó, ta được nghiệm của phương trình là: $ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi(k\in\mathbb{Z}) $.
c) Ta có
$ \begin{array}{l} \sin\left( x+30^{\circ} \right)\cos\left( 2x-150^{\circ} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\left( x+30^{\circ} \right)=0 \\ \cos\left( 2x-150^{\circ} \right)=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+30^{\circ}=k180^{\circ} \\ 2x-150^{\circ}=90^{\circ}+k180^{\circ} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-30^{\circ}+k180^{\circ} \\ x=120^{\circ}+k90^{\circ} \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). \end{array} $
d) Điều kiện $ \cos x\neq 0 $.
Ta có $ (3\tan x-\sqrt{3})(2\sin x-1)=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \sin x=\frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=\tan\frac{\pi}{6} \\ \sin x=\sin\frac{\pi}{6} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k\pi \\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
Vì góc $ x $ với $ \sin x=\frac{1}{2} $ thoả mãn điều kiện $ \cos x\neq 0 $, nên nghiệm của phương trình là
$ x=\frac{\pi}{6}+k\pi $ và $ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\quad(k\in\mathbb{Z}). $
$ \Leftrightarrow 2\cos x(\sin x+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=0 \\ \sin x=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
b) Ta có $ \sin^{3}x+\cos^{3}x=0\Leftrightarrow \sin^{3}x=(-\cos x)^{3}\Leftrightarrow \sin x=-\cos x $
$ \Leftrightarrow \sin x=\sin\left( -\frac{\pi}{2}+x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\left( -\frac{\pi}{2}+x \right)+k2\pi \\ x=\pi-\left( -\frac{\pi}{2}+x \right)+k2\pi \end{array} \right.\,\,(k\in\mathbb{Z}) $
Từ đó, ta được nghiệm của phương trình là: $ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi(k\in\mathbb{Z}) $.
c) Ta có
$ \begin{array}{l} \sin\left( x+30^{\circ} \right)\cos\left( 2x-150^{\circ} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\left( x+30^{\circ} \right)=0 \\ \cos\left( 2x-150^{\circ} \right)=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x+30^{\circ}=k180^{\circ} \\ 2x-150^{\circ}=90^{\circ}+k180^{\circ} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-30^{\circ}+k180^{\circ} \\ x=120^{\circ}+k90^{\circ} \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). \end{array} $
d) Điều kiện $ \cos x\neq 0 $.
Ta có $ (3\tan x-\sqrt{3})(2\sin x-1)=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \sin x=\frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=\tan\frac{\pi}{6} \\ \sin x=\sin\frac{\pi}{6} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{6}+k\pi \\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
Vì góc $ x $ với $ \sin x=\frac{1}{2} $ thoả mãn điều kiện $ \cos x\neq 0 $, nên nghiệm của phương trình là
$ x=\frac{\pi}{6}+k\pi $ và $ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\quad(k\in\mathbb{Z}). $