Bài tự luận · Bài 11
Bài tự luận Xác suất có điều kiện · Bài 11
(KNTT12) Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(A)>0,P(B)>0$. Chứng minh rằng nếu $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$ thì $A$ và $B$ độc lập.
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử $P(AB)=P(A)\cdot P(B)$ với $P(A)>0,P(B)>0$
Ta có $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A)$;
$P(B\mid A)=\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{P(B)\cdot P(A)}{P(A)}=P(B){ \rm{ . } }$
Vậy $P(A\mid B)=P(A)$ và $P(B\mid A)=P(B)$. Từ đó việc xảy ra biến cố $B$ không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $A$ và ngược lại. Do đó $A$ và $B$ độc lập.
Ta có $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}=P(A)$;
$P(B\mid A)=\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{P(B)\cdot P(A)}{P(A)}=P(B){ \rm{ . } }$
Vậy $P(A\mid B)=P(A)$ và $P(B\mid A)=P(B)$. Từ đó việc xảy ra biến cố $B$ không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $A$ và ngược lại. Do đó $A$ và $B$ độc lập.