Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $ K $ cách bờ $ AB $ là $ 2m $ và cách bờ $ AC $ là $ 8m $, rồi dùng một cây sào thẳng $ PQ $ ngăn một góc của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ $ AB,AC $ và cây cọc (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Đặt $ AP=a,AQ=b(a>8;b>2)(m) $. Gọi $ E $ và $ F $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ K $ xuống $ AB $ và $ AC $. Suy ra $ KE=2m,KF=8 m $. Ta có: $ \frac { KE } { AQ }=\frac { PK } { PQ };\frac { KF } { AP }=\frac { QK } { PQ } ⇒\frac { KF } { AP }+\frac { KE } { AQ }=1 $ hay $ \frac { 8 } { a }+\frac { 2 } { b }=1 $. Vi $ \frac { 8 } { a }+\frac { 2 } { b }=1 $ nên $ b=\frac { 2a } { a-8 } $. Khi đó $ PQ ^ { 2 } =a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =a ^ { 2 } +\left ( { \frac { 2a } { a-8 } } \right ) ^ { 2 } $. Xét hàm số $ y=f(a)=a ^ { 2 } +\left ( { \frac { 2a } { a-8 } } \right ) ^ { 2 } $ trên khoảng $ (8;+\infty ) $. Ta có: $ f ^ { ′ } (a)=2a+\frac { 4a } { a-8 }⋅\frac { -16 } { (a-8) ^ { 2 } }=\frac { 2a\left[ (a-8) ^ { 3 } -32 \right] } { (a-8) ^ { 3 } };f ^ { ′ } (a)=0⇒(a-8) ^ { 3 } =32⇒a=8+\sqrt[3] { 32 }>8. $Bảng biến thiên: Do đó $ \min_{ (8,+\infty ) } f(a)=f(8+\sqrt[3] { 32 })≈174,43 $. Vậy chiều dài ngắn nhất của cây sào có thể chạm vào hai bờ $ AB,AC $ và cây cọc là 174 m.