Hai chất điểm $ A $ và $ B $ chuyển động thẳng đều cùng hướng về $ O $ (như hình vẽ), biết rằng vận tốc $ V_{ B } =\frac { V_{ A } } { \sqrt[] { 3 } } $ và góc $ \measuredangle AOB=30 ^ { 0 } $. Biết rằng khi khoảng cách giữa hai chất điểm $ A $ và $ B $ là nhỏ nhất thì số đo góc $ \widehat { BAO }=\gamma . $ Tìm $ \gamma . $

Gọi $ d_{ 1 } ,d_{ 2 } $ lần lượt là khoảng cách các vật $ A $ và $ B $ đến $ O $ lúc đầu ($ t=0 $), đồng thời $ d=AB $. Gọi $ t' $là thời điểm mà $ d_{ \min } $. Khi đó $ A $ ở $ A' $ và $ B $ ở $ B' $ như hình vẽ. Kí hiệu góc $ \measuredangle B'A'O=\beta ,\measuredangle A'B'O=\gamma $. Áp dụng định lý sin trong tam giác $ ΔA'B'O $ ta có: $ \frac { d } { s{ \rm{ in } }\,30 }=\frac { OA' } { \sin\gamma }=\frac { OB' } { \sin\beta }⇔2d=\frac { d_{ 1 } -AA' } { \sin\gamma }=\frac { d_{ 2 } -BB' } { \sin\beta }⇔2d=\frac { d_{ 1 } -v_{ 1 } t } { \sin\gamma }=\frac { d_{ 2 } -v_{ 2 } t } { \sin\beta }\left ( { * } \right ) $ Do $ v_{ 2 } =\frac { v_{ 1 } } { \sqrt[] { 3 } } $ và áp dụng $ \frac { A } { B }=\frac { C } { D }=\frac { C-A } { D-B } $, ta có: $ \left ( { * } \right )⇔2d=\frac { \sqrt[] { 3 }d_{ 2 } -d_{ 1 } } { \sqrt[] { 3 }\sin\beta -\sin\gamma } $mà $ \sin\beta =\sin\left ( { 180 ^ { 0 } -\beta } \right )=\sin\left ( { 30 ^ { 0 } +\gamma } \right ) $ Do đó ta có $ d=\frac { \sqrt[] { 3 }d_{ 2 } -d_{ 1 } } { 2\left[ \sqrt[] { 3 }\sin\left ( { 30 ^ { 0 } +\gamma } \right )-\sin\gamma \right] }=\frac { \sqrt[] { 3 }d_{ 2 } -d_{ 1 } } { \sqrt[] { 3 }\cos\gamma +\sin\gamma } $ Xét $ f\left ( { \gamma } \right )=\sqrt[] { 3 }\cos\gamma +\sin\gamma $. Ta có $ d_{ \min } ⇔f\left ( { \gamma } \right )_{ \max } $ $ f'\left ( { \gamma } \right )=-\sqrt[] { 3 }\sin\gamma +c{ \rm{ os } }\gamma ;f'\left ( { \gamma } \right )=0⇔-\sqrt[] { 3 }\sin\gamma +c{ \rm{ os } }\gamma =0⇔\tan\gamma =\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }⇔\gamma =30 ^ { 0 } . $ $ f''\left ( { \gamma } \right )=-\sqrt[] { 3 }{ \rm{ \cos } }\gamma -{ \rm{ \sin } }\gamma ;f''\left ( { 30 ^ { 0 } } \right )=-\sqrt[] { 3 }{ \rm{ \cos } }30 ^ { 0 } -{ \rm{ \sin } }30 ^ { 0 } =-2 < 0 $ Vậy, khi $ \gamma =30 ^ { 0 } $ thì khoảng cách giữa hai chất điểm $ A $ và $ B $ là nhỏ nhất.