Bài tự luận · Bài 42
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 42
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;2)$ và $B(3;-4)$.
a) Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$.
b) Tìm toạ độ điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{NB}$.
a) Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn $AB$.
b) Tìm toạ độ điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{NB}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $M(x;y)$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1+3}{2}=2\\y=\dfrac{2+(-4)}{2}=-1\end{array}\right.$. Suy ra $M(2;-1)$.
b) Do $\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{NB}$ nên $\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}=(1-2)\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{ON}$, suy ra $\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$. Từ đó, do $\overrightarrow{OA}=(1;2),\overrightarrow{OB}=(3;-4)$ nên $\overrightarrow{ON}=(5;-10)$. Vậy $N(5;-10)$.
Nhận xét
Một cách khái quát, với hai điểm $A(a_1;a_2),B(b_1;b_2)$ thì điểm $P$ thoả mãn $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PB}\,(k\neq1)$ có toạ độ $\left(\dfrac{a_1-kb_1}{1-k};\dfrac{a_2-kb_2}{1-k}\right)$.
b) Do $\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{NB}$ nên $\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}=(1-2)\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{ON}$, suy ra $\overrightarrow{ON}=2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$. Từ đó, do $\overrightarrow{OA}=(1;2),\overrightarrow{OB}=(3;-4)$ nên $\overrightarrow{ON}=(5;-10)$. Vậy $N(5;-10)$.
Nhận xét
Một cách khái quát, với hai điểm $A(a_1;a_2),B(b_1;b_2)$ thì điểm $P$ thoả mãn $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PB}\,(k\neq1)$ có toạ độ $\left(\dfrac{a_1-kb_1}{1-k};\dfrac{a_2-kb_2}{1-k}\right)$.