Bài tự luận · Bài 41
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 41
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng: $A(1;3),B(-2;6),C(5;1)$.
a) Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$.
b) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
a) Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$.
b) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điểm $I(x;y)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0$
Mặt khác $\overrightarrow{IA}=(1-x;3-y),\overrightarrow{IB}=(-2-x;6-y),\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=(-1-2x;9-2y)$.
Do đó, (*) tương đương với $\left\{\begin{array}{l}-1-2x=0\\9-2y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{9}{2}\end{array}\right.$. Vậy $I\left(-\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right)$.
b) Điểm $G(x;y)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0(**)$
Mặt khác
$\overrightarrow{GA}=(1-x;3-y),\overrightarrow{GB}=(-2-x;6-y),\overrightarrow{GC}=(5-x;1-y)\quad\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(4-3x;10-3y)$.
Do đó, $(**)$ tương đương với $\left\{\begin{array}{l}4-3x=0\\10-3y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\y=\frac{10}{3}\end{array}\right.$.
Mặt khác $\overrightarrow{IA}=(1-x;3-y),\overrightarrow{IB}=(-2-x;6-y),\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=(-1-2x;9-2y)$.
Do đó, (*) tương đương với $\left\{\begin{array}{l}-1-2x=0\\9-2y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{9}{2}\end{array}\right.$. Vậy $I\left(-\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right)$.
b) Điểm $G(x;y)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0(**)$
Mặt khác
$\overrightarrow{GA}=(1-x;3-y),\overrightarrow{GB}=(-2-x;6-y),\overrightarrow{GC}=(5-x;1-y)\quad\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(4-3x;10-3y)$.
Do đó, $(**)$ tương đương với $\left\{\begin{array}{l}4-3x=0\\10-3y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\y=\frac{10}{3}\end{array}\right.$.