Cho hàm số $y = \frac{x^{2} - 2x + 2}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$. Trên đồ thị $(C)$ có một điểm $M(a; b)$ với $a > 1$ sao cho khoảng cách $IM$ là nhỏ nhất. Tìm $a$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận xiên $y = x - 1$ nên $I(1; 0)$. Cách 1: Ta có $y = x - 1 + \frac{1}{x - 1} \Rightarrow M\left(a; a - 1 + \frac{1}{a - 1}\right)$. $$ IM^{2} = (a - 1)^{2} + \left(a - 1 + \frac{1}{a - 1}\right)^{2} = 2(a - 1)^{2} + \frac{1}{(a - 1)^{2}} + 2 \geq 2 + 2\sqrt{2} $$ $IM$ ngắn nhất khi và chỉ khi $IM^{2} = 2 + 2\sqrt{2}$. Đẳng thức xảy ra khi: $$ \sqrt{2}(a - 1) - \frac{1}{a - 1} = 0 \Leftrightarrow (a - 1)^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow a = 1 + \sqrt[4]{\frac{1}{2}} \approx 1,84 $$ Cách 2: $IM$ ngắn nhất khi và chỉ khi $IM$ vuông góc với tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$. $$ f'(x) = \frac{x^{2} - 2x}{(x - 1)^{2}}. \quad \frac{y_{M} - y_{I}}{x_{M} - x_{I}} \cdot f'(x_{M}) = -1 \Leftrightarrow \frac{a^{2} - 2a + 2}{(a - 1)^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 2a}{(a - 1)^{2}} = -1 $$ $$ \Leftrightarrow \frac{(a - 1)^{4} - 1}{(a - 1)^{4}} = -1 \Leftrightarrow 2(a - 1)^{4} = 1 \Leftrightarrow a = 1 + \sqrt[4]{\frac{1}{2}} \approx 1,84 $$