Ở một vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ $ Oxy $ với đơn vị đo tương ứng $ 1 $ km có hòn đảo ở $ O $ thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } +1 } { x } $. Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Độ dài ngắn nhất của tuyến cáp treo nối đảo $ O $ với đường bao của khu đô thị chính là khoảng cách ngắn nhất từ điểm $ O $ tới một điểm thuộc đồ thị hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } +1 } { x } $ với $ x\neq 0 $. Gọi $ M\left ( { x;\frac { x ^ { 2 } +1 } { x } } \right ) $ là điểm thuộc đồ thị hàm số. Ta có $ OM ^ { 2 } =x ^ { 2 } +\left ( { x+\frac { 1 } { x } } \right ) ^ { 2 } =2x ^ { 2 } +\frac { 1 } { x ^ { 2 } }+2 $. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $ 2x ^ { 2 } +\frac { 1 } { x ^ { 2 } }\geq 2\sqrt[] { 2x ^ { 2 } .\frac { 1 } { x ^ { 2 } } }=2\sqrt[] { 2 } $. Suy ra $ OM ^ { 2 } \geq 2+2\sqrt[] { 2 }⇒OM\geq \sqrt[] { 2+2\sqrt[] { 2 } }≈2,2 $, dấu bằng xảy ra khi $ 2x ^ { 2 } =\frac { 1 } { x ^ { 2 } } $. Vậy độ dài của tuyến cáp treo xấp xỉ $ 2,2 $ km.