Bài tự luận · Bài 15
Dạng 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 15
(CTST11) Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a) $\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-x}{x+1}$
b) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2x^{2}-5x}{x^{2}+2}$.
a) $\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-x}{x+1}$
b) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2x^{2}-5x}{x^{2}+2}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Giả sử $\left( x_{n} \right)$ là dãy số bất kì thoả mãn $x_{n}\neq -1,x_{n}\neq 3$ với mọi $n$ và $\lim x_{n}=3$.
Ta có $\lim \frac{x_{n}^{2}-x_{n}}{x_{n}+1}=\frac{\left( \lim x_{n} \right)^{2}-\lim x_{n}}{\lim x_{n}+1}=\frac{3^{2}-3}{3+1}=\frac{3}{2}$.
Vậy $\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-x}{x+1}=\frac{3}{2}$.
b) Giả sử $\left( x_{n} \right)$ là dãy số bất kì thoả mãn $\lim x_{n}=+\infty$.
Ta có $\lim \frac{2x_{n}^{2}-5x_{n}}{x_{n}^{2}+2}=\lim \frac{2-\frac{5}{x_{n}}}{1+\frac{2}{x_{n}^{2}}}=\frac{2-5\lim \frac{1}{x_{n}}}{1+2\lim \frac{1}{x_{n}^{2}}}=\frac{2-5\cdot0}{1+2\cdot0}=2$.
Vậy $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2x^{2}-5x}{x^{2}+2}=2$.
Ta có $\lim \frac{x_{n}^{2}-x_{n}}{x_{n}+1}=\frac{\left( \lim x_{n} \right)^{2}-\lim x_{n}}{\lim x_{n}+1}=\frac{3^{2}-3}{3+1}=\frac{3}{2}$.
Vậy $\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-x}{x+1}=\frac{3}{2}$.
b) Giả sử $\left( x_{n} \right)$ là dãy số bất kì thoả mãn $\lim x_{n}=+\infty$.
Ta có $\lim \frac{2x_{n}^{2}-5x_{n}}{x_{n}^{2}+2}=\lim \frac{2-\frac{5}{x_{n}}}{1+\frac{2}{x_{n}^{2}}}=\frac{2-5\lim \frac{1}{x_{n}}}{1+2\lim \frac{1}{x_{n}^{2}}}=\frac{2-5\cdot0}{1+2\cdot0}=2$.
Vậy $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2x^{2}-5x}{x^{2}+2}=2$.