Bài tập nâng cao · Bài 8
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 8
Đường thẳng $d:ax+by+c=0$ đi qua điểm $A(1;2)$ và cách $B(-2;3)$ một khoảng bằng $\frac{4\sqrt{10}}5$. Biết $a,b$ là các số nguyên dương và $\frac ba$ tối giản. Tính giá trị biểu thức $T=3a+2b+1$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường thẳng $d:ax+by+c=0$ suy ra $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n=(a;b)$, $a^2+b^2>0$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ nên có phương trình là $a(x-1)+b(y-2)=0$.
Theo giả thiết ta có $d(B,d)=\frac{4\sqrt{10}}5\Leftrightarrow\frac{|a(-2-1)+b(3-2)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac8{\sqrt{10}}\Leftrightarrow\sqrt{10}|-3a+b|=8\sqrt{a^2+b^2}$.
$\Leftrightarrow10(9a^2-6ab+b^2)=64(a^2+b^2)\Leftrightarrow13a^2-30ab-27b^2=0\quad(1)$.
Xét $b=0$ thì $(1)\Leftrightarrow13a^2=0\Rightarrow a=0$ (loại do $a^2+b^2>0$).
Xét $b\ne0$ thì $(1)\Leftrightarrow13\left(\frac ab\right)^2-30\left(\frac ab\right)-27=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\frac ab=-\frac9{13}\ \text{(không thỏa mãn do }a,b>0\text{)}\\\frac ab=3\end{array}\right.$.
Với $\frac ab=3$ thì ta chọn $a=3$, $b=1\Rightarrow d:3x+y-5=0$.
Vậy $T=3\cdot3+2\cdot1+1=12$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ nên có phương trình là $a(x-1)+b(y-2)=0$.
Theo giả thiết ta có $d(B,d)=\frac{4\sqrt{10}}5\Leftrightarrow\frac{|a(-2-1)+b(3-2)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac8{\sqrt{10}}\Leftrightarrow\sqrt{10}|-3a+b|=8\sqrt{a^2+b^2}$.
$\Leftrightarrow10(9a^2-6ab+b^2)=64(a^2+b^2)\Leftrightarrow13a^2-30ab-27b^2=0\quad(1)$.
Xét $b=0$ thì $(1)\Leftrightarrow13a^2=0\Rightarrow a=0$ (loại do $a^2+b^2>0$).
Xét $b\ne0$ thì $(1)\Leftrightarrow13\left(\frac ab\right)^2-30\left(\frac ab\right)-27=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\frac ab=-\frac9{13}\ \text{(không thỏa mãn do }a,b>0\text{)}\\\frac ab=3\end{array}\right.$.
Với $\frac ab=3$ thì ta chọn $a=3$, $b=1\Rightarrow d:3x+y-5=0$.
Vậy $T=3\cdot3+2\cdot1+1=12$.