Bài tập nâng cao · Bài 7
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 7
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, phương trình đường thẳng $AB$ và $BC$ lần lượt là $3x-2y+2=0$ và $y=1$. Đường thẳng $AC$ đi qua điểm $M\left(1;\frac{11}{2}\right)$. Phương trình đường thẳng $AC$ có dạng $ax+by=c$, với $a,b,c\in\mathbb N^*$, $\frac ab$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng.
Xem lời giải
Lời giải
+ Đường thẳng $AC$ có dạng $ax+by=c$, đường thẳng $AC$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n=(a;b)$.
+ Đường thẳng $AB$, $BC$ lần lượt có một vectơ pháp tuyến là $\vec n_1=(3;-2)$, $\vec n_2=(0;1)$.
+ Vì $M\left(1;\frac{11}{2}\right)\in AC\Rightarrow a+\frac{11}{2}b=c\quad(1)$.
+ Xét $\triangle ABC$ cân tại $A$, ta có $\cos(AB,BC)=\cos(AC,BC)$.
$\Leftrightarrow\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}=\frac{|\vec n\cdot\vec n_2|}{|\vec n|\,|\vec n_2|}\Leftrightarrow\frac{|-2|}{\sqrt{13}}=\frac{|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow4(a^2+b^2)=13b^2$.
$\Leftrightarrow4a^2=9b^2\Rightarrow a=\frac32b$ (vì $a,b\in\mathbb N^*$), chọn $b=2\Rightarrow a=3$, thay vào $(1)$, suy ra $c=14$.
Vậy ta chọn phương án D: $a^2+b^2=13<c$.
+ Đường thẳng $AB$, $BC$ lần lượt có một vectơ pháp tuyến là $\vec n_1=(3;-2)$, $\vec n_2=(0;1)$.
+ Vì $M\left(1;\frac{11}{2}\right)\in AC\Rightarrow a+\frac{11}{2}b=c\quad(1)$.
+ Xét $\triangle ABC$ cân tại $A$, ta có $\cos(AB,BC)=\cos(AC,BC)$.
$\Leftrightarrow\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}=\frac{|\vec n\cdot\vec n_2|}{|\vec n|\,|\vec n_2|}\Leftrightarrow\frac{|-2|}{\sqrt{13}}=\frac{|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow4(a^2+b^2)=13b^2$.
$\Leftrightarrow4a^2=9b^2\Rightarrow a=\frac32b$ (vì $a,b\in\mathbb N^*$), chọn $b=2\Rightarrow a=3$, thay vào $(1)$, suy ra $c=14$.
Vậy ta chọn phương án D: $a^2+b^2=13<c$.