Bài tập nâng cao Tổng và hiệu của hai vectơ · Bài 20

Theo quy tắc ba điểm ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
Mà $\sin\widehat{ABC}=\frac{AC}{BC} \Rightarrow AC=BC\cdot\sin\widehat{ABC}=a\sqrt{5}\sin 30^\circ=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=\frac{a\sqrt{5}}{2}$; $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.
Ta có $AC^2+AB^2=BC^2 \Rightarrow AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{5a^2-\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$.
Vì vậy $\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\frac{a\sqrt{15}}{2}$.
Gọi $D$ là điểm sao cho tứ giác $ABDC$ là hình bình hành.
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên tứ giác $ABDC$ là hình chữ nhật, suy ra $AD=BC=a\sqrt{5}$.
Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=a\sqrt{5}$.