Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 10
Cho dãy số $\left( u_n \right)$ xác định bởi: $u_1=2$ và $u_{n+1}=5u_n$ với mọi $n\geq 1.$
a). Hãy tính $u_2,u_4$ và $u_6.$
b). Chứng minh rằng $u_n=2.5^{n-1}$ với mọi $n\geq 1.$
a). Hãy tính $u_2,u_4$ và $u_6.$
b). Chứng minh rằng $u_n=2.5^{n-1}$ với mọi $n\geq 1.$
Xem lời giải
Lời giải
a). Ta có:
$u_2=5u_1=5.2=10.$
$u_3=5.u_2=5.10=50.$
$u_4=5.u_3=5.50=250.$
$u_5=5.u_4=5.250=1250.$
$u_6=5.u_5=5.1250=6250.$
b). Ta sẽ chứng minh: $u_n=2.5^{n-1}\ \left( 1 \right)$ với mọi $n\geq 1$, bằng phương pháp quy nạp
Với $n=1,$ ta có: $u_1=2.5^{0}=2$ (đúng). Vậy $\left( 1 \right)$ đúng với $n=1.$
Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k\left( k\in N^{*} \right)$. Có nghĩa là ta có: $u_k=2.5^{k-1}.$
Ta phải chứng minh $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k+1.$
Có nghĩa ta phải chứng minh: $u_{k+1}=2.5^{k}.$
Từ hệ thức xác định dãy số: $\left( u_n \right)$ và giả thiết quy nạp ta có:
$u_{k+1}=5.u_k=2.5^{k-1}.5=2.5^{k}$ (đpcm).
$u_2=5u_1=5.2=10.$
$u_3=5.u_2=5.10=50.$
$u_4=5.u_3=5.50=250.$
$u_5=5.u_4=5.250=1250.$
$u_6=5.u_5=5.1250=6250.$
b). Ta sẽ chứng minh: $u_n=2.5^{n-1}\ \left( 1 \right)$ với mọi $n\geq 1$, bằng phương pháp quy nạp
Với $n=1,$ ta có: $u_1=2.5^{0}=2$ (đúng). Vậy $\left( 1 \right)$ đúng với $n=1.$
Giả sử $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k\left( k\in N^{*} \right)$. Có nghĩa là ta có: $u_k=2.5^{k-1}.$
Ta phải chứng minh $\left( 1 \right)$ đúng với $n=k+1.$
Có nghĩa ta phải chứng minh: $u_{k+1}=2.5^{k}.$
Từ hệ thức xác định dãy số: $\left( u_n \right)$ và giả thiết quy nạp ta có:
$u_{k+1}=5.u_k=2.5^{k-1}.5=2.5^{k}$ (đpcm).