Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 9
Dãy số $\left( u_n \right)$ được xác định bằng công thức: $\left\{ \begin{array}{l} u_1=1 \\ u_{n+1}=u_n+n^{3} \end{array} \right.\ \forall n\geq 1.$
a). Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b). Tính số hạng thứ 100 của dãy số.
a). Tìm công thức của số hạng tổng quát.
b). Tính số hạng thứ 100 của dãy số.
Xem lời giải
Lời giải
a). Ta có: $u_{n+1}=u_n+n^{3}\Rightarrow u_{n+1}-u_n=n^{3}.$
Từ đó suy ra:
$u_1=1$
$u_2-u_1=1^{3}$
$u_3-u_2=2^{3}$
$u_4-u_3=3^{3}$
$\ldots$
$u_{n-1}-u_{n-2}=\left( n-2 \right)^{3}$
$u_n-u_{n-1}=\left( n-1 \right)^{3}$
Cộng từng vế n đẳng thức trên:
$u_1+u_2-u_1+u_3-u_2+\ldots+u_{n-1}-u_{n-2}+u_n-u_{n-1}=1+1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+\left( n-2 \right)^{3}+\left( n-1 \right)^{3}$ $\Leftrightarrow u_n=1+1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+\left( n-2 \right)^{3}+\left( n-1 \right)^{3}.$
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+\left( n-1 \right)^{3}=\frac{\left( n-1 \right)^{2}.n^{2}}{4}$
Vậy $u_n=1+\frac{n^{2}\left( n-1 \right)^{2}}{4}$
b). $u_{100}=1+\frac{100^{2}.99^{2}}{4}=24502501.$
Từ đó suy ra:
$u_1=1$
$u_2-u_1=1^{3}$
$u_3-u_2=2^{3}$
$u_4-u_3=3^{3}$
$\ldots$
$u_{n-1}-u_{n-2}=\left( n-2 \right)^{3}$
$u_n-u_{n-1}=\left( n-1 \right)^{3}$
Cộng từng vế n đẳng thức trên:
$u_1+u_2-u_1+u_3-u_2+\ldots+u_{n-1}-u_{n-2}+u_n-u_{n-1}=1+1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+\left( n-2 \right)^{3}+\left( n-1 \right)^{3}$ $\Leftrightarrow u_n=1+1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+\left( n-2 \right)^{3}+\left( n-1 \right)^{3}.$
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+\left( n-1 \right)^{3}=\frac{\left( n-1 \right)^{2}.n^{2}}{4}$
Vậy $u_n=1+\frac{n^{2}\left( n-1 \right)^{2}}{4}$
b). $u_{100}=1+\frac{100^{2}.99^{2}}{4}=24502501.$