Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 8
Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ theo n của các dãy số sau :
a). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=3 \\ u_{n+1}=u_n+2 \end{array} \right.$
b). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ u_{n+1}=2u_n. \end{array} \right.$
a). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=3 \\ u_{n+1}=u_n+2 \end{array} \right.$
b). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ u_{n+1}=2u_n. \end{array} \right.$
Xem lời giải
Lời giải
a). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=3 \\ u_{n+1}=u_n+2 \end{array} \right.$
Ta có:
$u_2=u_1+2=3+2=5.$
$u_3=u_2+2=5+2=7.$
$u_4=u_3+2=7+2=9.$
$u_5=u_4+2=9+2=11.$
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng:
$u_n=2n+1\ \forall n\geq 1\left( * \right)$
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức $\left( * \right)$ đúng.
Với $n=1;u_1=2.1+1=3$ (đúng). Vậy $\left( * \right)$ đúng với $n=1.$
Giả sử $\left( * \right)$ đúng với $n=k.$ Có nghĩa ta có: $u_k=2k+1\ \left( 2 \right)$
Ta cần chứng minh $\left( * \right)$ đúng với $n=k+1.$ Có nghĩa là ta phải chứng minh:
$u_{k+1}=2\left( k+1 \right)+1=2k+3.$
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo $\left( 2 \right)$ ta có:
$u_{k+1}=u_k+2=2k+1+2=2k+3.$
Vậy $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1.$ Kết luận $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.
b). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ u_{n+1}=2u_n. \end{array} \right.$
Ta có:
$u_2=2u_1=2.2=4=2^{2}$
$u_3=2u_2=2.4=8=2^{3}$
$u_4=2u_3=2.8=16=2^{4}$
$u_5=2u_4=2.16=32=2^{5}$
Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng: $u_n=2^{n}\ \forall n\geq 1\left( * \right)$
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức $\left( * \right)$ đúng.
Với $n=1,$ có: $u_1=2^{1}=2$ (đúng). Vậy $\left( * \right)$ đúng với $n=1$
Giả sử $\left( * \right)$ đúng với $n=k$, có nghĩa ta có: $u_k=2^{k}\ \left( 2 \right)$
Ta cần chứng minh $\left( * \right)$ đúng với $n=k+1.$ Có nghĩa là ta phải chứng minh:
$u_{k+1}=2^{k+1}$.
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo $\left( 2 \right)$ ta có:
$u_{k+1}=2.u_k=2.2^{k}=2^{k+1}.$
Vậy $\left( * \right)$ đúng với $n=k+1.$ Kết luận $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.
Ta có:
$u_2=u_1+2=3+2=5.$
$u_3=u_2+2=5+2=7.$
$u_4=u_3+2=7+2=9.$
$u_5=u_4+2=9+2=11.$
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng:
$u_n=2n+1\ \forall n\geq 1\left( * \right)$
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức $\left( * \right)$ đúng.
Với $n=1;u_1=2.1+1=3$ (đúng). Vậy $\left( * \right)$ đúng với $n=1.$
Giả sử $\left( * \right)$ đúng với $n=k.$ Có nghĩa ta có: $u_k=2k+1\ \left( 2 \right)$
Ta cần chứng minh $\left( * \right)$ đúng với $n=k+1.$ Có nghĩa là ta phải chứng minh:
$u_{k+1}=2\left( k+1 \right)+1=2k+3.$
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo $\left( 2 \right)$ ta có:
$u_{k+1}=u_k+2=2k+1+2=2k+3.$
Vậy $\left( * \right)$ đúng khi $n=k+1.$ Kết luận $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.
b). $\left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ u_{n+1}=2u_n. \end{array} \right.$
Ta có:
$u_2=2u_1=2.2=4=2^{2}$
$u_3=2u_2=2.4=8=2^{3}$
$u_4=2u_3=2.8=16=2^{4}$
$u_5=2u_4=2.16=32=2^{5}$
Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng: $u_n=2^{n}\ \forall n\geq 1\left( * \right)$
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức $\left( * \right)$ đúng.
Với $n=1,$ có: $u_1=2^{1}=2$ (đúng). Vậy $\left( * \right)$ đúng với $n=1$
Giả sử $\left( * \right)$ đúng với $n=k$, có nghĩa ta có: $u_k=2^{k}\ \left( 2 \right)$
Ta cần chứng minh $\left( * \right)$ đúng với $n=k+1.$ Có nghĩa là ta phải chứng minh:
$u_{k+1}=2^{k+1}$.
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo $\left( 2 \right)$ ta có:
$u_{k+1}=2.u_k=2.2^{k}=2^{k+1}.$
Vậy $\left( * \right)$ đúng với $n=k+1.$ Kết luận $\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương n.