Bài tự luận · Bài 5
Dạng 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ, khoảng cách hai điểm, góc giữa hai vectơ Phương pháp: Với hai điểm $ A,B $ phân biệt, ta có $ \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } =\|\overset\rightarrow { AB }\| ^ { 2 } $, do đó $ AB=\sqrt[] { \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } } $. Với hai vectơ khác vectơ $ 0 $, sử dụng công thức $ cos(a,b)=\frac { a\cdot b } { \|a\|\cdot \|b\| } $.
Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 5
(CD10) Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các tia $BC$ và $CA$ thoả mãn $BM=\frac13BC,CN=\frac54CA$. Tính:
a) $\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AC},\overset\rightarrow{AM}\cdot\overset\rightarrow{BN}$
b) $MN$.
a) $\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AC},\overset\rightarrow{AM}\cdot\overset\rightarrow{BN}$
b) $MN$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AC}=\|\overset\rightarrow{AB}\|\cdot\|\overset\rightarrow{AC}\|\cdot\cos(\overset\rightarrow{AB},\overset\rightarrow{AC})=a\cdot a\cdot\cos60^{\circ}=\frac{a^{2}}{2}$.
$\overset\rightarrow{AM}\cdot\overset\rightarrow{BN}=(\overset\rightarrow{AB}+\overset\rightarrow{BM})\cdot(\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{CN})=(\overset\rightarrow{AB}+\frac13\overset\rightarrow{BC})\cdot(\overset\rightarrow{BC}+\frac54\overset\rightarrow{CA})$
$=\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{AB}\cdot\frac54\overset\rightarrow{CA}+\frac13\overset\rightarrow{BC}\cdot\overset\rightarrow{BC}+\frac13\overset\rightarrow{BC}\cdot\frac54\overset\rightarrow{CA}$
$=a^{2}\cos120^{\circ}+\frac54a^{2}\cos120^{\circ}+\frac13a^{2}+\frac5{12}a^{2}\cos120^{\circ}$
$=-a^{2}$.
b) $MN^{2}=(\overset\rightarrow{MB}+\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{CN})^{2}=(-\frac13\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{BC}+\frac54\overset\rightarrow{CA})^{2}=(\frac23\overset\rightarrow{BC}+\frac54\overset\rightarrow{CA})^{2}$
$=(\frac23\overset\rightarrow{BC})^{2}+2\cdot\frac23\cdot\frac54\cdot\|\overset\rightarrow{BC}\|\cdot\|\overset\rightarrow{CA}\|\cdot\cos120^{\circ}+(\frac54\overset\rightarrow{CA})^{2}$
$=\frac49a^{2}-\frac56a^{2}+\frac{25}{16}a^{2}=\frac{169}{144}a^{2}$. Vậy $MN=\frac{13}{12}a$.
$\overset\rightarrow{AM}\cdot\overset\rightarrow{BN}=(\overset\rightarrow{AB}+\overset\rightarrow{BM})\cdot(\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{CN})=(\overset\rightarrow{AB}+\frac13\overset\rightarrow{BC})\cdot(\overset\rightarrow{BC}+\frac54\overset\rightarrow{CA})$
$=\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{AB}\cdot\frac54\overset\rightarrow{CA}+\frac13\overset\rightarrow{BC}\cdot\overset\rightarrow{BC}+\frac13\overset\rightarrow{BC}\cdot\frac54\overset\rightarrow{CA}$
$=a^{2}\cos120^{\circ}+\frac54a^{2}\cos120^{\circ}+\frac13a^{2}+\frac5{12}a^{2}\cos120^{\circ}$
$=-a^{2}$.
b) $MN^{2}=(\overset\rightarrow{MB}+\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{CN})^{2}=(-\frac13\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{BC}+\frac54\overset\rightarrow{CA})^{2}=(\frac23\overset\rightarrow{BC}+\frac54\overset\rightarrow{CA})^{2}$
$=(\frac23\overset\rightarrow{BC})^{2}+2\cdot\frac23\cdot\frac54\cdot\|\overset\rightarrow{BC}\|\cdot\|\overset\rightarrow{CA}\|\cdot\cos120^{\circ}+(\frac54\overset\rightarrow{CA})^{2}$
$=\frac49a^{2}-\frac56a^{2}+\frac{25}{16}a^{2}=\frac{169}{144}a^{2}$. Vậy $MN=\frac{13}{12}a$.