Dạng 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ, khoảng cách hai điểm, góc giữa hai vectơ
Phương pháp:
Với hai điểm $ A,B $ phân biệt, ta có $ \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } =\|\overset\rightarrow { AB }\| ^ { 2 } $, do đó $ AB=\sqrt[] { \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } } $.
Với hai vectơ khác vectơ $ 0 $, sử dụng công thức $ cos(a,b)=\frac { a\cdot b } { \|a\|\cdot \|b\| } $.
Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 2
(CD10) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,AB=3$, $AC=4$. Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB$, $AC$ thoả mãn $AM=AN=1$. Tính $\overset\rightarrow{BN}\cdot\overset\rightarrow{CM}$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $\widehat A=90^{\circ}$ nên $\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AC}=0,\overset\rightarrow{AM}\cdot\overset\rightarrow{AN}=0$.
Ta có: $\overset\rightarrow{BN}\cdot\overset\rightarrow{CM}=(\overset\rightarrow{AN}-\overset\rightarrow{AB})\cdot(\overset\rightarrow{AM}-\overset\rightarrow{AC})$
$=\overset\rightarrow{AN}\cdot\overset\rightarrow{AM}-\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AM}-\overset\rightarrow{AN}\cdot\overset\rightarrow{AC}+\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AC}$
$=0-\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AM}-\overset\rightarrow{AN}\cdot\overset\rightarrow{AC}+0=-\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AM}-\overset\rightarrow{AN}\cdot\overset\rightarrow{AC}$.
Vì hai vectơ $\overset\rightarrow{AB},\overset\rightarrow{AM}$ cùng hướng nên $\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AM}=AB\cdot AM=3\cdot1=3$.
Vì hai vectơ $\overset\rightarrow{AC},\overset\rightarrow{AN}$ cùng hướng nên $\overset\rightarrow{AC}\cdot\overset\rightarrow{AN}=AC\cdot AN=4\cdot1=4$.
Suy ra $\overset\rightarrow{BN}\cdot\overset\rightarrow{CM}=-4-3=-7$.
