Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 44
Một vận động viên chèo thuyền từ một điểm $A$ trên bờ của một con sông thẳng có độ rộng là 6 km và muốn đến điểm $B$ trên bờ đối diện 20 km về phía hạ lưu (Hình).
Người này có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông để đến điểm $C$ rồi sau đó chạy tới điểm $B$, hoặc có thể chèo trực tiếp đến $B$, hoặc có thể chèo tới một điểm $D$ nào đó giữa $C$ và $B$ rồi sau đó chạy đến $B$. Hỏi vận động viên cần chèo từ $A$ đến điểm nào bên bờ đối diện để đến được $B$ nhanh nhất, biết rằng tốc độ chèo và tốc độ chạy của người này lần lượt là 8 km/h và 10 km/h (giả sử rằng tốc độ của nước là không đáng kể so với tốc độ chèo của vận động viên)?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x$ (km) là khoảng cách từ $C$ đến $D$ (Hình), với $0\leq x\leq 20$.
Khi đó $DB=20-x$ (km) và $AD=\sqrt{x^2+36}$ (km).
Do đó tổng thời gian $T$ (giờ) vận động viên chèo từ $A$ đến $D$ rồi chạy đến $B$ là:
$T(x)=\frac{\sqrt{x^2+36}}{8}+\frac{20-x}{10}$.
Lưu ý là hàm số $T(x)$ có tập xác định là $[0;20]$ và $T'(x)=\frac{x}{8\sqrt{x^2+36}}-\frac{1}{10}$.
$T'(x)=0\Leftrightarrow \frac{x}{8\sqrt{x^2+36}}-\frac{1}{10}=0\Leftrightarrow 8\sqrt{x^2+36}=10x\\ \Leftrightarrow 64\left(x^2+36\right)=100x^2\Leftrightarrow x=8$ (do $0\leq x\leq 20$).
Ta tính được: $T(0)=2,75; T(8)=2,45; T(20)=\frac{\sqrt{436}}{8}\approx 2,61$.
Do đó $T(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất là 2,45 tại $x=8$.
Vậy vận động viên phải chèo từ $A$ đến $D$ bên bờ đối diện cách $C$ một khoảng 8 km về phía hạ lưu để đến được $B$ nhanh nhất.
