Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 6
(Sở Ninh Bình 2020) Cho hàm số $y=x^3-3mx^2+2m$. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3mx^2+2m=0$ $(*)$
Phương trình $ax^3+bx^2+cx+d=0$ có ba nghiệm lập thành cấp số cộng $\longrightarrow$ phương trình có một nghiệm $x_0=-\frac{b}{3a}$.
Suy ra phương trình $(*)$ có một nghiệm $x=m$.
Thay $x=m$ vào phương trình $(*)$, ta được $m^3-3m.m^2+2m=0\Leftrightarrow-2m^3+2m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=\pm1\\m=0\end{array}\right.$.
Thử lại:
Với $m=1$, ta được $x^3-3x^2+2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1-\sqrt3\\x=1\\x=1+\sqrt3\end{array}\right.$.
Do đó $m=1$ thỏa mãn.
Với $m=-1$, ta được $x^3+3x^2-2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1+\sqrt3\\x=-1\\x=-1-\sqrt3\end{array}\right.$.
Do đó $m=-1$ thỏa mãn.
Với $m=0$, ta được $x^3=0\Leftrightarrow x=0$.
Do đó $m=0$ không thỏa mãn.
Vậy $m=\pm1$ là hai giá trị cần tìm.
Phương trình $ax^3+bx^2+cx+d=0$ có ba nghiệm lập thành cấp số cộng $\longrightarrow$ phương trình có một nghiệm $x_0=-\frac{b}{3a}$.
Suy ra phương trình $(*)$ có một nghiệm $x=m$.
Thay $x=m$ vào phương trình $(*)$, ta được $m^3-3m.m^2+2m=0\Leftrightarrow-2m^3+2m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=\pm1\\m=0\end{array}\right.$.
Thử lại:
Với $m=1$, ta được $x^3-3x^2+2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1-\sqrt3\\x=1\\x=1+\sqrt3\end{array}\right.$.
Do đó $m=1$ thỏa mãn.
Với $m=-1$, ta được $x^3+3x^2-2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1+\sqrt3\\x=-1\\x=-1-\sqrt3\end{array}\right.$.
Do đó $m=-1$ thỏa mãn.
Với $m=0$, ta được $x^3=0\Leftrightarrow x=0$.
Do đó $m=0$ không thỏa mãn.
Vậy $m=\pm1$ là hai giá trị cần tìm.