Bài tự luận · Bài 5
Dạng 1. Giải phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$
Bài tự luận Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 5
(KNTT10) Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm: $\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{2x^2+mx+m+1}$.
Xem lời giải
Lời giải
Bình phương hai vế của phương trình (5) và thu gọn ta được $x^2+(m-1)x+m=0$. (*)
Nhận thấy rằng tam thức bậc hai $x^2+x+1$ có $a=1>0$ và $\Delta=-3<0$. Suy ra $x^2+x+1>0$ với mọi $x$. Như vậy nếu phương trình (*) có nghiệm $x_0$ thì khi thử lại ta thấy $x_0^2+x_0+1>0$, tức là $x_0$ thoả mãn phương trình (5).
Vậy phương trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm. Điều này tương đương với $\Delta=(m-1)^2-4m\geq 0$ hay $m^2-6m+1\geq 0$. Từ đó ta được $m\leq 3-2\sqrt{2}$ hoặc $m\geq 3+2\sqrt{2}$.
Nhận thấy rằng tam thức bậc hai $x^2+x+1$ có $a=1>0$ và $\Delta=-3<0$. Suy ra $x^2+x+1>0$ với mọi $x$. Như vậy nếu phương trình (*) có nghiệm $x_0$ thì khi thử lại ta thấy $x_0^2+x_0+1>0$, tức là $x_0$ thoả mãn phương trình (5).
Vậy phương trình (5) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm. Điều này tương đương với $\Delta=(m-1)^2-4m\geq 0$ hay $m^2-6m+1\geq 0$. Từ đó ta được $m\leq 3-2\sqrt{2}$ hoặc $m\geq 3+2\sqrt{2}$.