Bài tự luận · Bài 4
Dạng 1. Giải phương trình có dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$
Bài tự luận Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 4
(KNTT10) Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm: $\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}$.
Xem lời giải
Lời giải
Bình phương hai vế phương trình đã cho và thu gọn ta được $x^2+(1-m)x+2-m=0$. (*)
Do $2x^2+x+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (vì $a=2>0$ và $\Delta=-7<0$) nên nếu $x_0$ là một nghiệm của phương trình (*) thì khi thử lại ta được $2x_0^2+x_0+1>0$, tức là $x_0$ thoả mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm. Điều này tương đương với
$\Delta=(1-m)^2-4(2-m)\geq 0\Leftrightarrow m^2+2m-7\geq 0\Leftrightarrow m\geq -1+2\sqrt{2}$ hoặc $m\leq -1-2\sqrt{2}$.
Do $2x^2+x+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ (vì $a=2>0$ và $\Delta=-7<0$) nên nếu $x_0$ là một nghiệm của phương trình (*) thì khi thử lại ta được $2x_0^2+x_0+1>0$, tức là $x_0$ thoả mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm. Điều này tương đương với
$\Delta=(1-m)^2-4(2-m)\geq 0\Leftrightarrow m^2+2m-7\geq 0\Leftrightarrow m\geq -1+2\sqrt{2}$ hoặc $m\leq -1-2\sqrt{2}$.