Bài tự luận · Bài 25
Dạng 3. Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 25
(CD12) Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
a) $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=18-\sqrt3t\\y=11\\z=5+t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số) và $(P):x-\sqrt3y-z-3=0$;
b) $\Delta:\dfrac{x-8}{2}=\dfrac{y-7}{-3}=\dfrac{z-6}{3}$ và $(P):3x-4y+5z-6=0$.
a) $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=18-\sqrt3t\\y=11\\z=5+t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số) và $(P):x-\sqrt3y-z-3=0$;
b) $\Delta:\dfrac{x-8}{2}=\dfrac{y-7}{-3}=\dfrac{z-6}{3}$ và $(P):3x-4y+5z-6=0$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $u=(-\sqrt3;0;1)$ và mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $n=(1;-\sqrt3;-1)$.
Ta có: $\sin(\Delta,(P))=\dfrac{|(-\sqrt3)\cdot1+0\cdot(-\sqrt3)+1\cdot(-1)|}{\sqrt{(-\sqrt3)^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt5}{10}$.
Suy ra $(\Delta,(P))\approx38^\circ$.
b) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $u=(2;-3;3)$ và mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $n=(3;-4;5)$.
Ta có: $\sin(\Delta,(P))=\dfrac{|2\cdot3+(-3)\cdot(-4)+3\cdot5|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+3^2}\cdot\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}}=\dfrac{3\sqrt{11}}{10}$.
Suy ra $(\Delta,(P))\approx84^\circ$.
Ta có: $\sin(\Delta,(P))=\dfrac{|(-\sqrt3)\cdot1+0\cdot(-\sqrt3)+1\cdot(-1)|}{\sqrt{(-\sqrt3)^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{15}+\sqrt5}{10}$.
Suy ra $(\Delta,(P))\approx38^\circ$.
b) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $u=(2;-3;3)$ và mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $n=(3;-4;5)$.
Ta có: $\sin(\Delta,(P))=\dfrac{|2\cdot3+(-3)\cdot(-4)+3\cdot5|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+3^2}\cdot\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}}=\dfrac{3\sqrt{11}}{10}$.
Suy ra $(\Delta,(P))\approx84^\circ$.