Bài tự luận · Bài 24
Dạng 3. Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng và góc giữa hai mặt phẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 24
(CD12) Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1,\Delta_2$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ nếu cần):
a) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=3+2t_1\\y=-2+t_1\\z=0\end{array}\right.$ và $\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=7+t_2\\y=-3-t_2\\z=2t_2\end{array}\right.$ ($t_1,t_2$ là tham số);
b) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\y=5-2t\\z=7-2t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số) và $\Delta_2:\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{y+6}{2}=\dfrac{z-10}{-1}$;
c) $\Delta_1:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{z-5}{-3}$ và $\Delta_2:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+2}{-1}$.
a) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=3+2t_1\\y=-2+t_1\\z=0\end{array}\right.$ và $\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=7+t_2\\y=-3-t_2\\z=2t_2\end{array}\right.$ ($t_1,t_2$ là tham số);
b) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\y=5-2t\\z=7-2t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số) và $\Delta_2:\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{y+6}{2}=\dfrac{z-10}{-1}$;
c) $\Delta_1:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{z-5}{-3}$ và $\Delta_2:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-3}{-1}=\dfrac{z+2}{-1}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $u_1=(2;1;0)$, $u_2=(1;-1;2)$.
Ta có: $\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|2\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot2|}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{\sqrt{30}}{30}$.
Suy ra $(\Delta_1,\Delta_2)\approx79^\circ$.
b) Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $u_1=(1;-2;-2)$, $u_2=(2;2;-1)$.
Ta có: $\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|1\cdot2+(-2)\cdot2+(-2)\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=0$.
Suy ra $(\Delta_1,\Delta_2)=90^\circ$.
c) Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $u_1=(-1;2;-3)$, $u_2=(2;-1;-1)$.
Ta có: $\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|(-1)\cdot2+2\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-3)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{21}}{42}$.
Suy ra $(\Delta_1,\Delta_2)\approx84^\circ$.
Ta có: $\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|2\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot2|}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{\sqrt{30}}{30}$.
Suy ra $(\Delta_1,\Delta_2)\approx79^\circ$.
b) Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $u_1=(1;-2;-2)$, $u_2=(2;2;-1)$.
Ta có: $\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|1\cdot2+(-2)\cdot2+(-2)\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=0$.
Suy ra $(\Delta_1,\Delta_2)=90^\circ$.
c) Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $u_1=(-1;2;-3)$, $u_2=(2;-1;-1)$.
Ta có: $\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{|(-1)\cdot2+2\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-3)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{21}}{42}$.
Suy ra $(\Delta_1,\Delta_2)\approx84^\circ$.