Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):2x+2y-z-1=0 $. Phương trình mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ) $ song song với $ \left ( { P } \right ) $ và cách $ \left ( { P } \right ) $ một khoảng bằng 3 có dạng $ ax+by-z+d=0\,\.(d>0) $. Tính $ T=a+b-d $.

Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua điểm $ M\left ( { 0;0;-1 } \right ) $ và có một vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 2;2;-1 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ) $ song song với $ \left ( { P } \right ) $ và cách $ \left ( { P } \right ) $ một khoảng bằng 3 nên có dạng $ \left ( { Q } \right ):2x+2y-z+d=0,\,\,\left ( { d\neq -1 } \right ) $. Mặt khác ta có $ d\left ( { M,\left ( { Q } \right ) } \right )=3⇔\frac { \left | { 1+d } \right | } { \sqrt[] { 4+4+1 } }=3⇔\left | { d+1 } \right |=9⇔\left[ d=8\,(TM) \ d=-10\,(L) \right. $. Do đó $ \left ( { Q } \right ):2x+2y-z+8=0. $ Vậy $ T=-4 $.