(THPT Lê Thánh Tông - Nguyễn Khuyến 2025) Trong truyện cổ tích “Cây tre trăm đốt”, khi không vác được cây tre dài đến 100 đốt về nhà, anh Khoai ngồi khóc. Bụt hiện lên, bày cho anh một cách hay: “Con hãy đọc câu thần chú “xác suất, xác suất” thì cây tre sẽ phân tách thành nhiều thanh nhỏ để con có thể mang được về nhà”. Biết rằng sau mỗi câu thần chú như thế thì cây tre 100 đốt được tách ra một cách ngẫu nhiên thành các đoạn ngắn có chiều dài 2 đốt và 5 đốt (có thể chỉ có một loại). Tính xác suất để số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 đơn vị (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi số đoạn 2 đốt là $ x $, số đoạn 5 đốt là $ y $. $ \left ( { x,\,\,y\in \mathbb{N} } \right ) $. Theo bài ra ta có $ 2x+5y=100⇔5y=100-2x $. $ 0\leq 5y\leq 100⇒0\leq y\leq 20 $ Mặt khác $ 100-2x $ chia hết cho 2 nên $ 5y $ cũng chia hết cho 2. Khi đó $ y $ phải chia hết cho 2. Từ đó ta suy ra $ \left ( { x;y } \right )\in \left\{\left ( { 50;0 } \right ),\left ( { 45;2 } \right ),\left ( { 40;4 } \right ),\left ( { 35;6 } \right ),\left ( { 30;8 } \right ),\left ( { 25;10 } \right ),\left ( { 20;12 } \right ),\left ( { 15;14 } \right ),\left ( { 10;16 } \right ),\left ( { 5;18 } \right ),\left ( { 0;20 } \right )\right\} $ Đối với bộ $ \left ( { 50;0 } \right ) $ và $ \left ( { 0;20 } \right ) $ mỗi bộ chỉ có 1 cách phân tách duy nhất. Đối với bộ $ \left ( { 45;2 } \right ) $ có $ C_{ 47 } ^{ 2 } $ cách phân tách. Đối với bộ $ \left ( { 40;4 } \right ) $ có $ C_{ 44 } ^{ 4 } $ cách phân tách. Tương tự với các bộ còn lại. Để phân tách được số đoạn 2 đốt nhiều hơn số đoạn 5 đốt đúng 1 đơn vị thì $ \left ( { x;y } \right )=\left ( { 15;14 } \right ) $ với $ C_{ 29 } ^{ 14 } $ cách phân tách. Vậy xác suất cần tìm là $ P=\frac { C_{ 29 } ^{ 14 } } { 1+C_{ 47 } ^{ 2 }+C_{ 44 } ^{ 4 }+C_{ 41 } ^{ 6 }+C_{ 38 } ^{ 8 }+C_{ 35 } ^{ 10 }+C_{ 32 } ^{ 12 }+C_{ 29 } ^{ 14 }+C_{ 26 } ^{ 16 }+C_{ 23 } ^{ 18 }+1 }≈0,14 $