Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 37
Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường châu Âu theo đơn giá 120 euro (€). Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số $K(x)=0,02x^3-3x^2+172x+2400$, trong đó $x$ là số lượng xe đạp sản xuất được trong ngày hôm đó. Mỗi ngày có thể sản xuất tối đa 130 xe đạp. Giả sử số xe đạp sản xuất được trong mỗi ngày đều được bán hết vào cuối ngày đó.
Gọi $G(x)$ là hàm số biểu diễn lợi nhuận hàng ngày của nhà máy (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
a) Vẽ đồ thị hàm số $G(x)$ trên đoạn $[0;130]$.
b) Số lượng xe mỗi ngày cần sản xuất là bao nhiêu chiếc để nhà máy có lãi?
c) Số lượng xe mỗi ngày cần sản xuất là bao nhiêu chiếc để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất?
d) Giả sử nhà máy quyết định tận dụng tối đa công suất sản xuất 130 xe đạp mỗi ngày. Nhà máy phải chọn đơn giá là bao nhiêu để có lãi?
Xem lời giải
Lời giải
a) $G(x)=120x-(0,02x^3-3x^2+172x+2400)$
$=-0,02x^3+3x^2-52x-2400$.
b) Để sản xuất có lãi thì $G(x)>0\Leftrightarrow-0,02x^3+3x^2-52x-2400>0$.
Do mỗi ngày sản xuất tối đa 130 xe nên $0<x\leq130$.
Ta có $G(x)>0\Leftrightarrow H(x)=(20+x)(x-120)(x-50)<0$, $x\in(0;130]$.
Ta có bảng xét dấu sau:
Từ bảng trên suy ra sản xuất có lãi khi $50<x<120$.
c) Ta có: $G'(x)=-0,06x^2+6x-52$,
$G'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{150+70\sqrt{3}}{3}\lor x=\frac{150-70\sqrt{3}}{3}$.
Ta được $G(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $(50;120)$ tại
$x=\frac{150+70\sqrt{3}}{3}\approx90,41$.
Mà $G(90)=2640>G(91)=2639,58$ nên khi sản xuất 90 xe mỗi ngày, lợi nhuận thu được sẽ lớn nhất.
d) Gọi đơn giá cho mỗi chiếc xe đạp để có lãi là $a$ (euro). Lợi nhuận một ngày khi công suất sản xuất tối đa là:
$a\cdot130-0,02\cdot130^3+3\cdot130^2-172\cdot130-2400=130a-18000$.
Để sản xuất có lãi thì $130a-18000>0\Leftrightarrow a>\frac{18000}{130}\approx138,5$ (euro).
