(THPT Trực Ninh - Nam Định 2025) Biết đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3x^{2} - 9x - 1$ có hai cực trị $A$ và $B$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $y = ax + b \left(a, b \in \mathbb{R}\right)$. Tính tổng $a + b$.

Lời giải Ta có: $$ y' = 3x^{2} + 6x - 9 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = -3 \end{array}\right. $$ Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(1; -6)$ và $B(-3; 26)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và nhận vectơ $\vec{AB} = (-4; 32)$ làm vectơ chỉ phương. Suy ra vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (8; 1)$. Phương trình đường thẳng $AB$ có dạng: $$ 8(x - 1) + 1(y + 6) = 0 \iff 8x + y - 2 = 0 \iff y = -8x + 2 $$ Vậy $a = -8$ và $b = 2$, suy ra $a + b = -8 + 2 = -6$.