(THPT Diễn Châu 5 - Nghệ An 2025) Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d \left(a, b, c, d \in \mathbb{R}\right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số $a, b, c, d$?

Lời giải Ta có: $y' = 3ax^{2} + 2bx + c$. Dựa vào đồ thị ta thấy $a < 0$ (nhánh cuối cùng đi xuống). Hàm số có 2 cực trị âm nên: $$ \left\{\begin{array}{l} \Delta'_{y'} > 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} b^{2} - 3ac > 0 \\ -\frac{2b}{3a} < 0 \\ \frac{c}{3a} > 0 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} b < 0 \\ c < 0 \end{array}\right. $$ Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0; d)$ có tung độ dương nên $d > 0$. Vậy trong các số $a, b, c, d$ chỉ có số $d > 0$. Kết luận có đúng 1 số dương.