(Chuyên Hạ Long 2025) Tính giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$.

Lời giải Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$. Ta có: $$ y' = 3x^{2} - 6x $$ $$ y' = 0 \iff 3x(x - 2) = 0 \iff \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}\right. $$ Bảng xét dấu đạo hàm: | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $2$ | | $+\infty$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | $y'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Ta thấy đạo hàm $y'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = 2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$. Giá trị cực tiểu là: $$ y(2) = 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 1 = 8 - 12 + 1 = -3 $$