Bài tự luận · Bài 14
Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 14
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $, biết
a) $ u_{ n } =\frac { 2n+9 } { n+3 } $
b) $ u_{ n } =\frac { 1 } { \sqrt { 2024+n } } $
c) $ u_{ n } =\frac { n! } { 2 ^ { n } } $
a) $ u_{ n } =\frac { 2n+9 } { n+3 } $
b) $ u_{ n } =\frac { 1 } { \sqrt { 2024+n } } $
c) $ u_{ n } =\frac { n! } { 2 ^ { n } } $
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $ u_{ n } =\frac { 2n+9 } { n+3 }=2+\frac { 3 } { n+3 } $, suy ra $ 2 < u_{ n } < 3,\forall n\in \mathbb{N} ^ { * } $;
$ u_{ n+1 } -u_{ n } =\frac { 2n+11 } { n+4 }-\frac { 2n+9 } { n+3 }=\frac { -3 } { (n+4)(n+3) } < 0$. Suy ra $ u_{ n+1 } < u_{ n } ,\forall n\in \mathbb{N} ^ { * } $.
Do đó, $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là dãy số giảm và bị chặn.
b) Ta có: $ 0 < \frac { 1 } { \sqrt { 2024+n } } < 1 $, suy ra $ 0 < u_{ n } < 1,\forall n\in \mathbb{N} ^ { * } $;
$ \frac { u_{ n+1 } } { u_{ n } }=\frac { \sqrt { 2024+n } } { \sqrt { 2024+n+1 } } < 1, \text{suy ra }u_{ n+1 } < u_{ n } ,\forall n\in \mathbb{N} ^ { * } . $ Do đó, $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là dãy số giảm và bị chặn.
c) Ta có $ u_{ n } =\frac { n! } { 2 ^ { n } }>0,\forall n\in \mathbb{N} $;
$ \frac { u_{ n+1 } } { u_{ n } }=\frac { (n+1)!2 ^ { n } } { n!2 ^ { n+1 } }=\frac { n+1 } { 2 }\geq 1$; suy ra $u_{ n+1 } \geq u_{ n } ,\forall n\in \mathbb{N} ^ { * } . $ Do đó, $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là dãy số không giảm và bị chặn dưới; cụ thể, $ u_1=u_2 $ và dãy tăng nghiêm ngặt từ $ n\geq 2 $.
$ u_{ n+1 } -u_{ n } =\frac { 2n+11 } { n+4 }-\frac { 2n+9 } { n+3 }=\frac { -3 } { (n+4)(n+3) } < 0$. Suy ra $ u_{ n+1 } < u_{ n } ,\forall n\in \mathbb{N} ^ { * } $.
Do đó, $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là dãy số giảm và bị chặn.
b) Ta có: $ 0 < \frac { 1 } { \sqrt { 2024+n } } < 1 $, suy ra $ 0 < u_{ n } < 1,\forall n\in \mathbb{N} ^ { * } $;
$ \frac { u_{ n+1 } } { u_{ n } }=\frac { \sqrt { 2024+n } } { \sqrt { 2024+n+1 } } < 1, \text{suy ra }u_{ n+1 } < u_{ n } ,\forall n\in \mathbb{N} ^ { * } . $ Do đó, $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là dãy số giảm và bị chặn.
c) Ta có $ u_{ n } =\frac { n! } { 2 ^ { n } }>0,\forall n\in \mathbb{N} $;
$ \frac { u_{ n+1 } } { u_{ n } }=\frac { (n+1)!2 ^ { n } } { n!2 ^ { n+1 } }=\frac { n+1 } { 2 }\geq 1$; suy ra $u_{ n+1 } \geq u_{ n } ,\forall n\in \mathbb{N} ^ { * } . $ Do đó, $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là dãy số không giảm và bị chặn dưới; cụ thể, $ u_1=u_2 $ và dãy tăng nghiêm ngặt từ $ n\geq 2 $.