Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.

a) Tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba.
b) Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ $ n $.

Question

Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.

a) Tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba.
b) Dự đoán công thức tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ $ n $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, hình thứ hai, hình thứ ba lần lượt là: $ 1-\left ( { \frac { 8 } { 9 } } \right )=\frac { 1 } { 9 };1-\left ( { \frac { 8 } { 9 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 17 } { 81 };1-\left ( { \frac { 8 } { 9 } } \right ) ^ { 3 } =\frac { 217 } { 729 } $. b) Gọi $ S_{ n } $ là diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ $ n $. Ta có: $ S_{ n } =1-\left ( { \frac { 8 } { 9 } } \right ) ^ { n } $.

Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 13