Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 24
Người ta muốn kéo một đường dây điện từ nhà máy điện đặt tại điểm $A$ đến một hòn đảo nhỏ $C$. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển, bờ biển được coi là thẳng, khoảng cách $CB$ từ hòn đảo $C$ đến bờ biển là 1 km, khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ là 4 km. Mỗi kilômét dây điện nếu đặt ngầm dưới nước sẽ mất 5000 USD, còn nếu đặt ngầm dưới đất sẽ mất 3000 USD. Người ta dự định kéo dây điện ngầm dưới đất từ điểm $A$ đến một điểm $S$ trên bờ biển, nằm giữa $A$ và $B$, sau đó chạy ngầm dưới nước từ điểm $S$ đến hòn đảo $C$. Tìm vị trí của điểm $S$ sao cho chi phí kéo đường dây điện là nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $BS=x$ km $(0<x<4)$, ta có: $\left\{\begin{array}{l}CS=\sqrt{1+x^2}\\SA=4-x\end{array}\right.$
Khi đó, chi phí cần bỏ ra là: $f(x)=5000\sqrt{1+x^2}+3000(4-x)$
Bài toán trở thành: “Tìm GTNN của $f(x)$ trên $(0;4)$”.
Xét hàm số $f(x)$ trên $(0;4)$, ta có: $f'(x)=\frac{5000x}{\sqrt{1+x^2}}-3000$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow\frac{1000\left(5x-3\sqrt{1+x^2}\right)}{\sqrt{1+x^2}}=0\Leftrightarrow3\sqrt{1+x^2}=5x\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0<x<4\\9(1+x^2)=25x^2\end{array}\right.\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 16000 tại $x=\frac{3}{4}$.
Vậy điểm $S$ trên bờ biển cần tìm cách $A$ một khoảng $4-\frac{3}{4}=\frac{13}{4}$ km.
