Bài tự luận · Bài 23
Dạng 2. Tìm giá trị tham số để hàm số liên tục
Bài tự luận Hàm số liên tục · Bài 23
(CD11) Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x^{2}-x & \text{nếu} & x\geq 1 \\ x+a & \text{nếu} & x < 1 \end{array} \right.$
a) Với $a=2$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=1$.
b) Tìm $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
a) Với $a=2$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=1$.
b) Tìm $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Với $a=2$, ta có: $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=0,\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=3$. Suy ra không tồn tại $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$. Vậy hàm số không liên tục tại $x=1$.
b) Với $x < 1$ thì $f(x)=x+a$ liên tục trên $(-\infty ;1)$. Với $x>1$ thì $f(x)=x^{2}-x$ liên tục trên $(1;+\infty )$. Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số liên tục tại $x=1$.
Khi đó $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)=0$.
Như vậy, $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}(x+a)=1+a=0\Rightarrow a=-1$.
Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi $a=-1$.
b) Với $x < 1$ thì $f(x)=x+a$ liên tục trên $(-\infty ;1)$. Với $x>1$ thì $f(x)=x^{2}-x$ liên tục trên $(1;+\infty )$. Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số liên tục tại $x=1$.
Khi đó $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)=0$.
Như vậy, $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}(x+a)=1+a=0\Rightarrow a=-1$.
Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi $a=-1$.