Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 45

Dễ thấy điểm $A\left(\frac45;\frac75\right)$ không thuộc hai đường phân giác $x-2y-1=0$ và $x+3y-1=0$. Suy ra gọi $CF:x-2y-1=0$, $BE:x+3y-1=0$ lần lượt là phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh $C$, $B$ (như hình vẽ trên).
Gọi $d$ là đường thẳng qua $A\left(\frac45;\frac75\right)$ và vuông góc với $BE$ thì $d$ có VTPT là $\vec n_d=(3;-1)$ nên có phương trình $3\left(x-\frac45\right)-\left(y-\frac75\right)=0\Leftrightarrow3x-y-1=0$. Tọa độ điểm $M=d\cap BE$ thỏa mãn hệ $\begin{cases}3x-y-1=0\\x+3y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac25\\y=\frac15\end{cases}\Rightarrow M\left(\frac25;\frac15\right)$.
Suy ra tọa độ điểm đối xứng với $A\left(\frac45;\frac75\right)$ qua $M\left(\frac25;\frac15\right)$ là $A'(0;-1)$ thì $A'\in BC\quad(1)$.
Gọi $d'$ là đường thẳng qua $A\left(\frac45;\frac75\right)$ và vuông góc với $CF$ thì $d'$ có VTPT là $\vec n_{d'}=(2;1)$ nên có phương trình $2\left(x-\frac45\right)+\left(y-\frac75\right)=0\Leftrightarrow2x+y-3=0$. Tọa độ điểm $N=d'\cap CF$ thỏa mãn hệ $\begin{cases}2x+y-3=0\\x-2y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac75\\y=\frac15\end{cases}\Rightarrow N\left(\frac75;\frac15\right)$.
Suy ra tọa độ điểm đối xứng với $A\left(\frac45;\frac75\right)$ qua $N\left(\frac75;\frac15\right)$ là $A''(2;-1)$ thì $A''\in BC\quad(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\overrightarrow{A'A''}=(2;0)$ là một VTCP của $BC$, suy ra VTPT của $BC$ là $\vec n=(0;1)$. Do đó phương trình cạnh $BC:0(x-0)+1(y+1)=0\Leftrightarrow y+1=0$.