Bài tập nâng cao · Bài 44
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 44
Cho đường thẳng $d:3x-2y+1=0$ và điểm $M(1;2)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ và tạo với $d$ một góc $45^\circ$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ có dạng $\Delta:a(x-1)+b(y-2)=0$, $a^2+b^2\ne0$, hay $ax+by-a-2b=0$.
Theo bài ra $\Delta$ tạo với $d$ một góc $45^\circ$ nên $\cos45^\circ=\frac{|3a-2b|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow\frac{\sqrt2}{2}=\frac{|3a-2b|}{\sqrt{13}\sqrt{a^2+b^2}}$.
$\Leftrightarrow\sqrt{26(a^2+b^2)}=2|3a-2b|\Leftrightarrow5a^2-24ab-5b^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=5b\\5a=-b\end{array}\right.$.
+ Nếu $a=5b$, chọn $a=5,b=1$, suy ra $\Delta:5x+y-7=0$.
+ Nếu $5a=-b$, chọn $a=1,b=-5$, suy ra $\Delta:x-5y+9=0$.
Theo bài ra $\Delta$ tạo với $d$ một góc $45^\circ$ nên $\cos45^\circ=\frac{|3a-2b|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}\sqrt{a^2+b^2}}\Leftrightarrow\frac{\sqrt2}{2}=\frac{|3a-2b|}{\sqrt{13}\sqrt{a^2+b^2}}$.
$\Leftrightarrow\sqrt{26(a^2+b^2)}=2|3a-2b|\Leftrightarrow5a^2-24ab-5b^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=5b\\5a=-b\end{array}\right.$.
+ Nếu $a=5b$, chọn $a=5,b=1$, suy ra $\Delta:5x+y-7=0$.
+ Nếu $5a=-b$, chọn $a=1,b=-5$, suy ra $\Delta:x-5y+9=0$.