Bài tự luận · Bài 45
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 45
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;2)$ và $B(3;-4)$. Tìm toạ độ của điểm $C$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$ có độ dài ngắn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Xét điểm $C(0;c)\in Oy$. Khi đó $\overrightarrow{CA}=(1;2-c)$ và $\overrightarrow{CB}=(3;-4-c)$.
Do đó $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=(4;-2-2c)$, suy ra $\lVert\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\rVert=\sqrt{16+4(1+c)^2}$.
Do $(1+c)^2\geq0\ \forall c$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $c=-1$, nên $\lVert\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\rVert\geq4$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $c=-1$. Vậy với điểm $C(0;-1)\in Oy$ thì vectơ $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$ có độ dài ngắn nhất.
Nhận xét
- Với mỗi điểm $C$ đều có $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$, với I là trung điểm $AB$. Suy ra vectơ $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$ có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ $\overrightarrow{CI}$ có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do $C$ thuộc trục tung, nên $C$ là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.
- Khái quát, ta có bài toán tìm được điểm $C$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho vectơ $\alpha\overrightarrow{CA}+\beta\overrightarrow{CB}$ có độ dài ngắn nhất, với $\alpha,\beta$ là hai hằng số cho trước.
Do đó $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=(4;-2-2c)$, suy ra $\lVert\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\rVert=\sqrt{16+4(1+c)^2}$.
Do $(1+c)^2\geq0\ \forall c$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $c=-1$, nên $\lVert\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\rVert\geq4$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $c=-1$. Vậy với điểm $C(0;-1)\in Oy$ thì vectơ $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$ có độ dài ngắn nhất.
Nhận xét
- Với mỗi điểm $C$ đều có $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$, với I là trung điểm $AB$. Suy ra vectơ $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$ có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ $\overrightarrow{CI}$ có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do $C$ thuộc trục tung, nên $C$ là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.
- Khái quát, ta có bài toán tìm được điểm $C$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho vectơ $\alpha\overrightarrow{CA}+\beta\overrightarrow{CB}$ có độ dài ngắn nhất, với $\alpha,\beta$ là hai hằng số cho trước.