Bài tự luận · Bài 59
Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 59
Để tích lũy tiền cho việc học đại học của con gái, cô Thảo quyết định hằng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi $ 0,5{ \rm{ \% } } $ cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích luỹ này khi con gái cô tròn 4 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiền vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Thảo bao nhiêu tuổi?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ u_{ n } $ là số triệu đồng mà cô Thảo có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ $ n $ (vào đầu tháng thứ $ n $).
Kí hiệu $ a=0,5 $ triệu đồng, $ r=0,5{ \rm{ \% } } $.
Số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng 1 là $ u_{ 1 } =a $.
Số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng 2 là $ u_{ 2 } =u_{ 1 } \left ( { 1+r } \right )+a $.
Số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng 3 là
$ u_{ 3 } =u_{ 2 } \left ( { 1+r } \right )+a=a(1+r) ^ { 2 } +a\left ( { 1+r } \right )+a{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng $ n $ là: $ u_{ n } =a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n-1 } +a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n-2 } +\ldots +a\left ( { 1+r } \right )+a=a\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 } { \left ( { 1+r } \right )-1 }=a\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 } { r }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được $ u_{ 180 } =a\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { 180 } -1 } { r }=145,41 $ (triệu đồng). Khi đó, tuổi của con gái cô Thảo là $ 4+180:12=19 $ tuổi.
Kí hiệu $ a=0,5 $ triệu đồng, $ r=0,5{ \rm{ \% } } $.
Số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng 1 là $ u_{ 1 } =a $.
Số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng 2 là $ u_{ 2 } =u_{ 1 } \left ( { 1+r } \right )+a $.
Số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng 3 là
$ u_{ 3 } =u_{ 2 } \left ( { 1+r } \right )+a=a(1+r) ^ { 2 } +a\left ( { 1+r } \right )+a{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Thảo trong chương trình ở đầu tháng $ n $ là: $ u_{ n } =a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n-1 } +a\left ( { 1+r } \right ) ^ { n-2 } +\ldots +a\left ( { 1+r } \right )+a=a\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 } { \left ( { 1+r } \right )-1 }=a\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { n } -1 } { r }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được $ u_{ 180 } =a\frac { \left ( { 1+r } \right ) ^ { 180 } -1 } { r }=145,41 $ (triệu đồng). Khi đó, tuổi của con gái cô Thảo là $ 4+180:12=19 $ tuổi.