Bài tự luận · Bài 28
Dạng 3. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Bài tự luận Phương trình mặt phẳng · Bài 28
(CD12) Cho hình chóp $ S.ABC $ thoả mãn $ \widehat { ASB }= \widehat { BSC }= \widehat { CSA }=90 ^ { ° } $. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ trên mặt phẳng $ (ABC) $. Chứng minh rằng
$ \frac { 1 } { SH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SC ^ { 2 } }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
$ \frac { 1 } { SH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SC ^ { 2 } }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ SA=a,SB=b,SC=c(a,b,c>0) $. Vì các đường thẳng $ SA,SB,SC $ đôi một vuông góc nên có thể gắn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ thoả mãn $ S(0;0;0),A(a;0;0) $, $ B(0;b;0),C(0;0;c) $.
Phương trình mặt phẳng $ (ABC) $ là: $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1\Leftrightarrow \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }-1=0 $.
Khoảng cách từ điểm $ S $ đến mặt phẳng $ (ABC) $ là:
$ SH=\frac { \left | { \frac { 0 } { a }+\frac { 0 } { b }+\frac { 0 } { c }-1 } \right | } { \sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { a } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { b } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { c } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { a } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { b } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { c } } \right ) ^ { 2 } } }. $
Suy ra $ \frac { 1 } { SH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SC ^ { 2 } } $.
Phương trình mặt phẳng $ (ABC) $ là: $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1\Leftrightarrow \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }-1=0 $.
Khoảng cách từ điểm $ S $ đến mặt phẳng $ (ABC) $ là:
$ SH=\frac { \left | { \frac { 0 } { a }+\frac { 0 } { b }+\frac { 0 } { c }-1 } \right | } { \sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { a } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { b } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { c } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { a } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { b } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { c } } \right ) ^ { 2 } } }. $
Suy ra $ \frac { 1 } { SH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SC ^ { 2 } } $.