Bài tập nâng cao · Bài 70
6. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 70
Giải phương trình: $\sin^{3}x\cos 3x+\cos^{3}x\sin 3x=\sin^{3}4x$ (*)
Xem lời giải
Lời giải
$\left( * \right)\Leftrightarrow \sin^{3}x\left( 4\cos^{3}x-3\cos x \right)+\cos^{3}x\left( 3\sin x-4\sin^{3}x \right)=\sin^{3}4x$
$\Leftrightarrow 4\sin^{3}x\cos^{3}x-3\sin^{3}x\cos x+3\cos^{3}x\sin x-4\cos^{3}x\sin^{3}x=\sin^{3}4x$
$\Leftrightarrow 3\sin x\cos x\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)=\sin^{3}4x$
$\Leftrightarrow \frac{3}{2}\sin 2x\cos 2x=\sin^{3}4x$ $\Leftrightarrow \frac{3}{4}\sin 4x=\sin^{3}4x$
$\Leftrightarrow 3\sin 4x-4\sin^{3}4x=0$ $\Leftrightarrow \sin 12x=0$ $\Leftrightarrow 12x=k\pi\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{12}$, $k\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow 4\sin^{3}x\cos^{3}x-3\sin^{3}x\cos x+3\cos^{3}x\sin x-4\cos^{3}x\sin^{3}x=\sin^{3}4x$
$\Leftrightarrow 3\sin x\cos x\left( \cos^{2}x-\sin^{2}x \right)=\sin^{3}4x$
$\Leftrightarrow \frac{3}{2}\sin 2x\cos 2x=\sin^{3}4x$ $\Leftrightarrow \frac{3}{4}\sin 4x=\sin^{3}4x$
$\Leftrightarrow 3\sin 4x-4\sin^{3}4x=0$ $\Leftrightarrow \sin 12x=0$ $\Leftrightarrow 12x=k\pi\Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{12}$, $k\in\mathbb{Z}$