Bài tập nâng cao · Bài 68
6. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 68
Giải phương trình: $\cos 3x+\sin 7x=2\sin^{2}\left( \frac{\pi}{4}+\frac{5x}{2} \right)-2\cos^{2}\frac{9x}{2}$ (*)
Xem lời giải
Lời giải
$\left( * \right)\Leftrightarrow \cos 3x+\sin 7x=1-\cos\left( \frac{\pi}{2}+5x \right)-1-\cos 9x$ $\Leftrightarrow \cos 3x+\sin 7x=\sin 5x-\cos 9x$
$\Leftrightarrow \cos 3x+\cos 9x+\sin 7x-\sin 5x=0$ $\Leftrightarrow 2\cos 6x\cos 3x+2\cos 6x\sin x=0$
$\Leftrightarrow \cos 6x\left( \cos 3x+\sin x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 6x=0 \\ \cos 3x=\cos\left( \frac{\pi}{2}+x \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{6} \\ x=\frac{\pi}{4}+l\pi \\ x=-\frac{\pi}{8}+\frac{m\pi}{2} \end{array} \right.\,\,k,l,m\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow \cos 3x+\cos 9x+\sin 7x-\sin 5x=0$ $\Leftrightarrow 2\cos 6x\cos 3x+2\cos 6x\sin x=0$
$\Leftrightarrow \cos 6x\left( \cos 3x+\sin x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 6x=0 \\ \cos 3x=\cos\left( \frac{\pi}{2}+x \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{6} \\ x=\frac{\pi}{4}+l\pi \\ x=-\frac{\pi}{8}+\frac{m\pi}{2} \end{array} \right.\,\,k,l,m\in\mathbb{Z}$