Bài tự luận · Bài 2
Dạng 1. Lập phương trình đường thẳng Phương pháp: Để lập phương trình đường thẳng, ta thường chỉ ra toạ độ một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 2
(CD12) Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}{l}x=2-3t\\y=4+t\\z=5-2t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số).
a) Tìm toạ độ của điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$, biết $M$ có hoành độ bằng 5.
b) Chứng minh rằng điểm $N(8;2;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.
c) Chứng minh rằng điểm $P(-1;5;4)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta'$, biết $\Delta'$ đi qua $P$ và song song với $\Delta$.
d) Tìm toạ độ của điểm $I$, biết $I$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P):x-y+z+9=0$.
a) Tìm toạ độ của điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$, biết $M$ có hoành độ bằng 5.
b) Chứng minh rằng điểm $N(8;2;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.
c) Chứng minh rằng điểm $P(-1;5;4)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$. Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta'$, biết $\Delta'$ đi qua $P$ và song song với $\Delta$.
d) Tìm toạ độ của điểm $I$, biết $I$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P):x-y+z+9=0$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $M$ thuộc $\Delta$ nên $M(2-3t;4+t;5-2t)$ ($t\in\mathbb{R}$).
Ta có: $2-3t=5$, suy ra $t=-1$. Do đó $4+t=4+(-1)=3$, $5-2t=5-2\cdot(-1)=7$. Vậy $M(5;3;7)$.
b) Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}8=2-3t\\2=4+t\\9=5-2t\end{array}\right.\Leftrightarrow t=-2$. Suy ra tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $N(8;2;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.
c) Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-1=2-3t\\5=4+t\\4=5-2t\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t=1\\t=1\\t=\dfrac12\end{array}\right.$. Suy ra không tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $P(-1;5;4)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.
Do $u=(-3;1;-2)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ và $\Delta\parallel\Delta'$ nên $u=(-3;1;-2)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta'$.
Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta'$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-3t'\\y=5+t'\\z=4-2t'\end{array}\right.$ ($t'$ là tham số).
d) Vì $I$ thuộc $\Delta$ nên $I(2-3a;4+a;5-2a)$ ($a\in\mathbb{R}$). Mà $I$ thuộc $(P)$ nên $(2-3a)-(4+a)+(5-2a)+9=0\Leftrightarrow a=2$. Vậy $I(-4;6;1)$.
Ta có: $2-3t=5$, suy ra $t=-1$. Do đó $4+t=4+(-1)=3$, $5-2t=5-2\cdot(-1)=7$. Vậy $M(5;3;7)$.
b) Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}8=2-3t\\2=4+t\\9=5-2t\end{array}\right.\Leftrightarrow t=-2$. Suy ra tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $N(8;2;9)$ thuộc đường thẳng $\Delta$.
c) Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-1=2-3t\\5=4+t\\4=5-2t\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t=1\\t=1\\t=\dfrac12\end{array}\right.$. Suy ra không tồn tại số thực $t$ thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm $P(-1;5;4)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.
Do $u=(-3;1;-2)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ và $\Delta\parallel\Delta'$ nên $u=(-3;1;-2)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $\Delta'$.
Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta'$ là: $\left\{\begin{array}{l}x=-1-3t'\\y=5+t'\\z=4-2t'\end{array}\right.$ ($t'$ là tham số).
d) Vì $I$ thuộc $\Delta$ nên $I(2-3a;4+a;5-2a)$ ($a\in\mathbb{R}$). Mà $I$ thuộc $(P)$ nên $(2-3a)-(4+a)+(5-2a)+9=0\Leftrightarrow a=2$. Vậy $I(-4;6;1)$.