Bài tự luận · Bài 27
Dạng 2. Tìm giá trị tham số để hàm số liên tục
Bài tự luận Hàm số liên tục · Bài 27
(CTST11) Cho hai hàm số $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 2-x \text{ khi } x < 1 \\ x^{2}+x \text{ khi } x\geq 1 \end{array} \right.$ và $g(x)=\left\{ \begin{array}{l} 2x-x^{2} \text{ khi } x < 1 \\ -x^{2}+a \text{ khi } x\geq 1 \end{array} \right.$
Tìm giá trị của tham số $a$ sao cho hàm số $h(x)=f(x)+g(x)$ liên tục tại $x=1$.
Tìm giá trị của tham số $a$ sao cho hàm số $h(x)=f(x)+g(x)$ liên tục tại $x=1$.
Xem lời giải
Lời giải
$h(x)=f(x)+g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2+x-x^{2} & \text{khi } x < 1 \\ x+a & \text{khi } x\geq 1 \end{array} \right.$
$\lim\limits_{x\to 1^{-}} h(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}} \left( 2+x-x^{2} \right)=\lim\limits_{x\to 1^{-}} 2+\lim\limits_{x\to 1^{-}} x-\lim\limits_{x\to 1^{-}} x^{2}=2+1-1^{2}=2;$
$\lim\limits_{x\to 1^{+}} h(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}} (x+a)=\lim\limits_{x\to 1^{+}} x+\lim\limits_{x\to 1^{+}} a=1+a;h(1)=1+a.$
Hàm số $h(x)$ liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x\to 1^{-}} h(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}} h(x)=h(1)$ $\Leftrightarrow 2=1+a\Leftrightarrow a=1$.
$\lim\limits_{x\to 1^{-}} h(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}} \left( 2+x-x^{2} \right)=\lim\limits_{x\to 1^{-}} 2+\lim\limits_{x\to 1^{-}} x-\lim\limits_{x\to 1^{-}} x^{2}=2+1-1^{2}=2;$
$\lim\limits_{x\to 1^{+}} h(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}} (x+a)=\lim\limits_{x\to 1^{+}} x+\lim\limits_{x\to 1^{+}} a=1+a;h(1)=1+a.$
Hàm số $h(x)$ liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x\to 1^{-}} h(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}} h(x)=h(1)$ $\Leftrightarrow 2=1+a\Leftrightarrow a=1$.