Bài tự luận · Bài 28
Dạng 2. Tìm giá trị tham số để hàm số liên tục
Bài tự luận Hàm số liên tục · Bài 28
(CTST11) Cho hàm số $y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^{2}+ax+b & \text{khi } \left| x \right| < 2 \\ x(2-x) & \text{khi } \left| x \right|\geq 2 \end{array} \right.$
Tìm giá trị của các tham số $a$ và $b$ sao cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Tìm giá trị của các tham số $a$ và $b$ sao cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Xem lời giải
Lời giải
$\lim\limits_{x\to -2^{-}} f(x)=\lim\limits_{x\to -2^{-}} \left[ x(2-x) \right]=-8=f(-2)$
$\lim\limits_{x\to -2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to -2^{+}} \left( x^{2}+ax+b \right)=4-2a+b$
$\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}} \left[ x(2-x) \right]=0=f(2)$
$\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}} \left( x^{2}+ax+b \right)=4+2a+b$
Hàm số liên tục tại $x=-2$ và $x=2$ khi và chỉ khi
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4-2a+b=-8 \\ 4+2a+b=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a+b=-12 \\ 2a+b=-4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-8 \end{array} \right.$
Vậy $a=2,b=-8$ là các giá trị cần tìm.
$\lim\limits_{x\to -2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to -2^{+}} \left( x^{2}+ax+b \right)=4-2a+b$
$\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}} \left[ x(2-x) \right]=0=f(2)$
$\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}} \left( x^{2}+ax+b \right)=4+2a+b$
Hàm số liên tục tại $x=-2$ và $x=2$ khi và chỉ khi
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4-2a+b=-8 \\ 4+2a+b=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2a+b=-12 \\ 2a+b=-4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-8 \end{array} \right.$
Vậy $a=2,b=-8$ là các giá trị cần tìm.