Bài tập nâng cao · Bài 2
DẠNG 1. TÍNH TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 2
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $O$. Hãy tính:
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}$; $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})$; $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})$.
b) $\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{NA}\cdot\overrightarrow{AB}$ với $N$ là điểm trên cạnh $BC$.
c) $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}$ với $M$ nằm trên đường tròn nội tiếp hình vuông.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}$; $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})$; $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})$.
b) $\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{NA}\cdot\overrightarrow{AB}$ với $N$ là điểm trên cạnh $BC$.
c) $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}$ với $M$ nằm trên đường tròn nội tiếp hình vuông.
Xem lời giải
Lời giải
a)
• $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BC}|\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=-BA\cdot BC\cos90^\circ=0$.
• $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BD}=-|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BD}|\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})=-BA\cdot BD\cos45^\circ=-a\cdot a\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=-a^2$.
• $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}$
$=0+|\overrightarrow{AC}|\,|\overrightarrow{BC}|\cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC})=AC\cdot BC\cos45^\circ=a^2$.
• $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC})=2\overrightarrow{AC}\cdot2\overrightarrow{DB}=0$.
b)
• $\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BO})\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AB}$ (do $\overrightarrow{BN}\perp\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{AB}=0$)
$=\overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{BA}=|\overrightarrow{BO}|\,|\overrightarrow{BA}|\cos(\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA})=\dfrac{a\sqrt2}{2}\cdot a\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{a^2}{2}$.
• $\overrightarrow{NA}\cdot\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BN})\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BN}\cdot\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}^2=-a^2$.
c) $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}$
$=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})\cdot(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})$
$=2MO^2+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})\cdot\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=2MO^2=\dfrac{a^2}{2}$, vì $OA\perp OB$, $OC\perp OD$ và $MO=\dfrac a2$.