Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 1

a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=AB\cdot AC\cos60^\circ=a\cdot a\cdot\dfrac12=\dfrac{a^2}{2}$.
b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BC}|\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$
$=-BA\cdot BC\cos60^\circ=-a\cdot a\cdot\dfrac12=-\dfrac{a^2}{2}$.
c) Gọi $E$ là trung điểm của $BC$, có $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$;
Do đó $(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=2\overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{CB}=2|\overrightarrow{OE}|\,|\overrightarrow{CB}|\cos(\overrightarrow{OE},\overrightarrow{CB})=2OE\cdot CB\cos90^\circ=0$.
d) Khai triển biểu thức, ta được
$D=(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}^2-3\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-6\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}$.
Chú ý rằng: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\dfrac{a^2}{2}$; $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{a^2}{2}$; $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{a^2}{2}$.
Từ đó $D=a^2+\dfrac{3a^2}{2}+a^2-3a^2=\dfrac{a^2}{2}$.