Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 3

Dựng $DE\perp BC$, $E\in BC\Rightarrow ABED$ là hình chữ nhật. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{CD}$
$=-\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DC}=-|\overrightarrow{DE}|\,|\overrightarrow{DC}|\cos(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC})=-DE\cdot DC\cos45^\circ=-2a\cdot2a\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=-4a^2$.
$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BD}=3|\overrightarrow{BE}|\,|\overrightarrow{BD}|\cos\widehat{DBE}=3BE\cdot BD\cdot\dfrac{BE}{BD}=3a^2$.
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AB}$
$=|\overrightarrow{BC}|\,|\overrightarrow{AD}|\cos0^\circ-\overrightarrow{AB}^2=BC\cdot AD-AB^2=3a\cdot a-4a^2=-a^2$
(vì $\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$; $\overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AD}=0$).
b) Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, suy ra $HI$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$, do đó $HI=\dfrac{AD+BC}{2}=2a$.
Có $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{HI}-\overrightarrow{HA})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{HI}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{HI}\cdot\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{AB}$.
Mà $\overrightarrow{HI}\cdot\overrightarrow{AD}=HI\cdot AD\cos0^\circ=2a^2$;
$\overrightarrow{HI}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ (do $\overrightarrow{HI}\perp\overrightarrow{AB}$); $\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{AD}=0$ (do $\overrightarrow{HA}\perp\overrightarrow{AD}$).
$\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AB}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}^2=-2a^2$.
Vậy $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BD}=0\Rightarrow\overrightarrow{AI}\perp\overrightarrow{BD}\Rightarrow$ góc giữa $AI$ và $BD$ bằng $90^\circ$.